小学奥数是什么?机构的奥数错在哪里?
首先说一下奥数,它其实跟我们小学、初中、高中课内知识体系,是不一样的。它虽然是数学,但它是数学的一个变种,是一个很特殊的东西。我这里给大家画一张图,这里方框部分代表课内知识,从上到下,蓝色方块是小学知识,深紫色方块代表初中知识,咖啡色的代表高中知识。大家可以看到,竞赛知识,有一部分来自小学,初中甚至高中课内知识,另有一部分,在课内从来没碰到过。有些家长看了小学奥数题目,觉得自己好像从来没学过数学一样。这个大家不要奇怪,这是因为奥数它的数学体系是不一样的。
怎样应对奥数?那么我的建议就是,先把数学的知识体系,来龙去脉理解。理解以后再去从竞赛考试中锻炼,这样才能提高能力,积累经验。那么里面的知识点大概有怎样的框架呢,我是有一个大纲的。大框架如图:(不用细看,我会介绍的。)
我的建议,幼儿园的重点不是学什么思维,而是尽早地过掉计算关。大家要清楚地知道,这些幼儿园的思维,完全是没有用的,根本不用花这个时间,先把计算关给过掉。计算关包括:大数的加减乘除四则运算,大数就是三位、四位、五位甚至以上的数,他们的加减乘除的四则运算。如果年龄大一点的话,就是小数、分数这些计算要过关。然后开始系统地学数学。 整个框架已经有了,我是引入了负数的概念,实数集的概念。再讲到变量,表达式,方程和方程组。有人说方程是初中的知识,根据我的研究,小学绝大部分应用题都能用方程等代数方法来解决,这样省去了时间,不要去学各种套路。
然后讲不定方程,不等式,引入数论中的奇偶性,质数合数,倍数因数,整除同余,数论和代数方程结合起来讲,这是个比较理想的切入点。再讲一些课堂里不讲的图论,图论到大学里有一门课叫离散数学,也是会学的,但是小学、中学里是不会学的,但是在选拔性的考试里会有。再比如容斥原理,其实是集合论里上的小定理,在奥数竞赛里用得比较多。容斥、抽屉、逻辑也是经常会考的,逻辑也是大学离散数学的一个分支,里面很多有用的定理,比如迪摩根定理一般学习是不会学到的。在学逻辑的时候,可以引进等价命题反证法,这些都是和逻辑有关系的,这些在小奥机构里没有讲到,但是要学透的话,这些都是要讲的,包括几何的证明都是要讲的,全等相似,如果没有这个,外面的蝴蝶、沙漏、鸟头,都是空中楼阁。不知道怎么证明的话,就不知道来龙去脉。
最后,提早引入一些常用的定理,比如勾股定理,这个在几年之前,小学是不讲的。但是后来中环有了两道勾股定律的题,之后它就进入考试的范围之内了。后面一些可以不学,但是学了以后,你会发现很多题目其实有很简洁的做法,比如海伦公式和正弦余弦定理应该要知道一下,然后鸟头模型就很容易理解。如果你会梅涅劳斯定理呢,燕尾定理就可以不用了。塞瓦定理,面积割补,都是竞赛里经常碰到的,但是平时也不太教的。计数、排列组合、加乘原理和递归方法,都需要专门去讲,这些原来都是在高中部分讲的,但是现在也在小学奥数竞赛的范围里边。包括高中不常考的标数法、倒推法,但是在竞赛里面却考得很多。这些就是竞赛和平时课内学习不一样的地方。外面行程问题考的很多,但是对我来说不是关键,因为变量之间的等量关系能够列出来,那么行程问题根本就不用花太大力气。 学会了这个知识体系后,很多人说要去刷题,觉得刷题可以提高效率应付考试。但是我没有让小孩刷很多题,如果刷的话,就用历届真题给他锻炼,再加上我自己也编一些题目,质量提高了,刷题数量相对就可以减少。 那么合理的规划,是怎样的呢?用1、2年的时间把奥数需要的基础知识掌握,然后再开始实战训练,用四大杯赛的真题。用1年的时间,每周刷一套卷子,坚持1到2年的时间,那么既学到了知识,又得到了运用。目标就是到4年级的时候,拿到一些杯赛的奖项,对今后的中学学习来说,也是很有帮助了。大家看到很多内容要讲的,这些其实已经是很精华很集中的了(机构其实要讲5年)。
我们介绍一个思路,所谓二八法则,经济学家帕累托说的,社会上80%的人只拥有社会20%的财富,80%的财富在那些20%的人手里。听上去有点不平衡,但是很多地方都是有这个二八法则。比如说学习的方法上,在奥数获奖现状上,前20%的人包揽了80%的奖项,说得激烈一点,更可能是前15%的人获得95%的奖项也可能。奥数的学习方法也是这样,用20%的精力掌握80%的量,这个才是正确的方法,就是提高效率,而不是拼血。拼血是一件很无奈的事情。而我们现在80%的人在干什么事情呢,做跟大家差不多的事情。你看论坛上的帖子都是这样子:一个是跟什么机构,问的是你在哪个机构什么班。第二个问的是,你在做哪些题目,做的是哪本书的题目。80%的人学奥数都是用这个方法学的。这个是没有办法的事情,因为奥数的题目分布非常广,一个机构的教法套路,不能覆盖多种题型和知识点,很多人就上三个奥数班,四个奥数班,天天上课,天天回来还得刷题,做不同的习题书,把相关的书都做一遍,今后考试遇到类似的题,你就会做了。但实际上这是不对的,因为你是一个学生啊,你不是一个出题的老师,也不是专家。这么多书,应该是我这样一个给组委会供题老师做研究用的,我把这些题做一做,这个才是可以的,家长和学生都不应该做这个事情。有人说,那我去什么机构的金牌班就可以了,那么问题是同一本书,给不同的老师来上,效果也是有天壤之别的。老师才重要,哪个机构哪个班不重要。你研究这种班有什么意义呢,这个差异很多,没有必要去研究。
奥数机构有几个常见的弊病。 这些我们家长应该要知道的,它是用题目类型来进行分类,进行上课的。比如这节课讲“牛吃草”,其实就是牛顿很早之前发明的应用题,这一类型的都叫“牛吃草”:草原上的草不断地长,牛在不断地吃,草长得慢,牛吃得快,最终草全部被吃光。但是几堂课讲这个东西,就是不科学,因为这本身就是搭个简单的模型,用几个变量排一个式子就能解的事情,这个不值得花几堂课或者专门来讲这个事情。流水行船,火车过桥,很多书上都是这样讲的,这个专门用几堂课来讲,就是不合理。在我看来就是含有变量的应用题,你方程懂了,火车过桥基本原理掌握了,都可以轻松地解决,不需要花那么多的时间去学。
还有个问题,很多机构在1、2年级代数体系中,没有引入变量系统,代数表达式和方程,就是没有一个趁手的工具用来解题。他们用什么方法来解题呢,教你一些公式,这些公式今后可能不会用到,和差倍公式啊,盈亏公式啊,或者画个线段图。画线段图不是不好,问题到后期效率很低,很复杂的问题画个线段图就不能解决了。 还有一个比较严重的问题,因为学数学要系统学,如果几何从来不讲定理和证明,这个事情是不对的,因为平面几何的精华所在就是严谨的逻辑系统,你没有推理,没有假设,没有分析和来龙去脉,就直接给你讲一个定理,也不证明,这个等于没有学几何,这个根本没有起到学习数学,锻炼思维的作用,这点问题很大。但是所有小奥机构都是这样在教。 还有一点,就是为做题而做题,原因就是为了竞赛把题做对,以做题为纲,不解释为什么要这样做,这个方法背后的道理是什么,题目本质是什么它没有说,还有数学问题的解决和描述,不规范。讲容斥原理,不讲集合的并集交集,就直接讲容斥原理,它讲不清楚。包括不定方程,我看过所有的机构不定方程的章节,基本上没有一个机构是讲清楚特解和通解当中的关系的,这些是数学当中一定要讲清楚的东西,也没有讲清楚。导致小朋友学的东西不全,或者学不正规的版本,造成对数学的把握不扎实,这些问题都是存在。 更有问题的是,几个机构的教材看下来,大部分都是大同小异的,相互抄袭的,没有原创的,或者创立前后一体的一个系统,原创性和启发性很差。而且机构整个时间拖得太长,从幼儿园就开始上,一直上到五年级,太长了,而且学的东西对将来初中、高中有没有帮助呢?可以说没有非常大的帮助。它教你的东西,都是校数外面的,不是用校数里面可重用的东西给你上,到了初中很多方法要重新来过,包括知识体系要重新学一遍,这个是很不划算的一件事,系统性就没有了。
按照机构的思路来学,势必面临从小奥机构体系到初中代数几何体系的转换,所以很多机构又开出高年级的小升初冲刺衔接课程,开始再花精力学习另外一个新体系。而如果一开始就系统学数学,何来这么多弯路呢?
怎么学?我给大家一个建议:“重要性原则”。 先学对将来有帮助的东西。我总结出来,一个是代数体系,一个是几何,还有一个方法论,就是为什么要这样想。这三个东西很重要。 还有一个推导理解的原则,不能去死记公式,必须知道公式的来历,才能知道什么场合去用。 多思考多问为什么,想通是非常关键的。并不是会用公式去解题就行,主要把本质的东西想明白,这是最关键的。在理解这些知识体系的基础上,再去应用。用什么来练,不要用刷题书,直接做历届真题。并且用你学过的这套知识体系来做,这是我的经验。 还有一个经验就是,一题多解,尽量多挖掘不同的解法,如果错了,要搞清楚错在哪里,要能够举一反三,下次不能在同一个地方跌倒。 考试在做很多事情的时候,不能面面俱到,要抓住最重要的,做对基础题。提高熟练程度和正确率,包括考试技巧。 基本题要抓住保证对,中等题拼一拼,难题直接放弃,不要花太多的时间在上面。但是平时遇到难题的时候,要好好思考自己想通,最重要的要形成自己的解题体系,你的知识体系是什么东西,不是别人给你的,是带有你自己思想的、你理解的一个体系。
讲规划,就是如果要学,怎么学。第一个要提前学,第二个要系统学,对于老师来说,还要启发你学。 什么是提前学,就是最晚2年级把加减乘除搞定,甚至小学之前搞定,这个很重要。然后按照我写的奥数体系,用两年的时间把应付小奥的知识体系全部学完,2年实际是比较宽裕的,一个周期7个月,你可以学上3个多周期了。同时真题实战解析,也是我写的一门课,用1到2年把历届真题(前5年到前10年的题)全部做一遍,把学到的知识用到题目当中去。 然后就看你的选择了。如果你到四年级的时候,已经有了不少证书,或者你根本不打算拼奥数证书,你在4、5年级就不该把小学奥数当作主要放精力的对象,应该学初中和高中的内容。用1、2年时间把初中的基础甚至把提高部分也完成。如果你能够做到这点的话,差不多你的提前量会比人家早3到4年,这样的话胜率会比较大一点。