高中数学四大数学思想之一:函数与方程的头脑
高中数学中主要的数学头脑有:函数与方程的思想,分类讨论思想,数形联合思想,化归与转化思想。
把一系列字母或待求的量通过列方程解方程求值,就是方程的头脑,方程是从算术方法到代数方法的一种质的飞跃;
对于不同性质的同题用不同的方法或不同的学问加以解决,便有了分类讨论的思想;
把代数问题与几何中的“形”结合起来,或借助于数的精确性来阐明形,或行使”形“的几何直观性来表示数,这就是数形结合的思想;
把复杂的问题转化为简单的问题,把一般的问题转化为特殊的问题,把尚未解决的问题转移为已解决的问题,把抽象的问题转化为具体的问题等,便形成了转化的思想。
函数与方程的思想
函数思想,是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题,方程思想,是从问题的数量关系入手,运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式或方程与不等式的混合组),而后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解,方程是从算术方法到代数方法的一种质的飞跃,有时,还可以将函数与方程互相转化、接轨,达到解决问题的目的。
函数描述了自然界中数量之间的关系,函数思想通过揭示问题的数学特征,建立函数关系型的数学模型,从而进行研究.它体现了“联系和变化”"的辩证唯物主义观点.运用函数与方程思想解题时,常常需要将字母看作变量,将代数式看作函数,利用函数的性质做工具进行分析,或者将一个等式看作某一个未知数的方程,或者构造一个函数把表面上不是函数的问题化归为函数问题。
点评:上述解法二运用了方程的思想,把已知条件通过变形看作关于两个角的三角函数值的方程来求解,从而获得所求的三角表达式的值。
点评:求d的范围,整理成关于首先的函数,利用一元二次方程有根求得公差d的范围。同样也可以整理成关于d的函数,求首项的取值范围。
点评:在解析几何中考查三角形面积的最值问题是高考的重点和热点,求解的关键是建立面积的目标函数,再求函数最值,至于如何求最值,应视函数式的特点而定,本题运用的方法是利用均值定理。
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