小学奥数四年级|相遇问题

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在数学中存在一类经典问题，其研究对象是路程、速度和时间三者之间的数量关系，这类问题我们就统称为行程问题，这三个量之间存在的关系如下：

路程=速度×时间

速度=路程÷时间

时间=路程÷速度

在行程问题中，有几种典型的问题：多个对象的行程问题（如相遇和追及），不能看成质点的车长问题，涉及多次相遇的往返问题，环形跑道问题等。

今天我们先来研究下最简单的相遇（相背）问题，其特征为在同一直线上两个运动物体朝着相反方向运动。在相遇问题中，三者关系变为：

相遇时间=路程和÷速度和

路程和=速度和×相遇时间

首先我们来看下一道经典的相遇问题，题目如下：

【1】甲，乙两辆汽车从A,B两地同时相向开出，出发后2小时，两车相距141千米，出发5小时后，两车相遇，则A，B两地相距多少千米？

分析：5小时的相遇时间与A,B两地的距离相对应，5-2=3小时的相遇时间与141千米相对应，所以两车的速度和=141÷（5-2）=47千米，因此两地相距的距离为：47×5=235千米

接着我们来看一道行程问题中的相距问题，题目如下：

【2】甲，乙两人分别以6千米/小时和4千米/小时的速度从相距30千米的两地相对方前进，当两人相距10千米的时候，他们走了多少小时。

分析：距离为10千米，有两种情况，一种是还没有相遇，另一种是相遇后，两种情况下，两人的路程和分别为30-10=20千米或者30+10=40千米，因此两人走的时间分别是20÷（6+4）=2小时或者40÷（6+4）=4小时。

然后我们来看到同一段路走多次的相遇问题，这也是一道非常经典的题目，题目如下：

【3】上午8时8分，小明骑着自行车从家里出发，8分钟后，老爸骑着摩托车去追他，在离家4千米处追上他，然后爸爸立刻回家，到家后又立刻回头去追小明，在追上小明的时候，离家恰好8千米，那么这时候是几时几分？

方法1：爸爸在离家4千米如果不返回，而是停8分钟，然后在向前追小明，应该在离家4+4千米处恰好追上小明，这表明爸爸从离家4千米处返回，然后再回到这里用时8分钟，所以爸爸的速度是8÷8=1分钟，而爸爸一共走了16千米，所以爸爸共用了16分钟，因此第二次追上爸爸的时间是8+8+16=32分，即8时32分。

方法2：爸爸第一次追上儿子到第二次追上儿子的时间内，儿子走了4千米，爸爸走了4+8=12千米，因此爸爸的速度是儿子的3倍，儿子走8分钟的路程为4÷3×（3-1）=8/3千米，那么儿子走8千米的时间为8÷（8/3÷8）=24小时，因此爸爸第二次追上儿子的时间是8点32分。

最后我们来看一道比较复杂的行程问题，题目如下：

【4】佳佳和楚楚同时从家里出发相向而行，佳佳每分钟走52米，楚楚每分钟走70米，两人在途中的A处相遇，若佳佳先出发4分钟，但是速度不变，楚楚每分钟走90米，两人仍在A处相遇，那么佳佳家和楚楚家相距多远？

因为佳佳的速度不变，所以佳佳两次到达A处的时间相同，又因为佳佳提前出发4分钟，相当于楚楚第二次比第一次少走4分钟，因此（70×4）÷（90-70）=14分钟，由此可知楚楚第二次走了14分钟，第一次走了18分钟，那么两家相距路程为（52+70）×18=2196米。