三角形

图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以来关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

线段和差及倍半，缩短缩短可试验。

线段和差不等式，移到同一三角去。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，倍长中线得全等。

四边形

平行四边形出现，对称焦点等分点。

梯形问题巧转换，变为三角或平四。

平移腰，移对角，两腰缩短作出高。

如果出现腰中点，细心连上中位线。

上述方法不奏效，过腰中点全等造。

证相似，比线段，添线平行成习惯。

等积式子比例换，寻觅线段很关键。

直接证明有困难，等量代换少麻烦。

斜边上面作高线，比例中项一大片。

圆

半径与弦长计算，弦心距来中间站。

圆上若有一切线，切点圆心半径联。

切线长度的计算，勾股定理最方便。

要想证明是切线，半径垂线小心辨。

是直径，成半圆，想成直角径连弦。

弧有中点圆心连，垂径定理要记全。

圆周角边两条弦，直径和弦端点连。

弦切角边切线弦，同弧对角等找完。

要想作个外接圆，各边作出中垂线。

还要作个内接圆，内角平分线梦圆。

如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。

内外相切的两圆，颠末切点公切线。

若是添上连心线，切点肯定在上面。

要作等角添个圆，说明题目少困难。

一、截取构全等

如图，AB//CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。

分析：在此题中可在长线段BC上截取BF=AB，再证明CF=CD，从而达到证明的目的。这里面用到了角平分线来构造全等三角形。另外一个全等自已证明。此题的证明也可以延长BE与CD的延长线交于一点来证明。自已试一试。

二、角分线上点向两边作垂线构全等

如图，已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC。求证：∠ADC+∠B=180

分析：可由C向∠BAD的两边作垂线。近而证∠ADC与∠B之和为平角。

三、三线合一构造等腰三角形

如图，AB=AC，∠BAC=90 ，AD为∠ABC的平分线，CE⊥BE.求证：BD=2CE。

分析：延长此垂线与另外一边相交，得到等腰三角形，随后全等。

四、角平分线+平行线

如图，AB>AC, ∠1=∠2，求证：AB－AC>BD－CD。

分析：AB上取E使AC=AE，通过全等和组成三角形边边边的关系可证。

截长补短法

AC平分∠BAD，CE⊥AB，且∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE。

分析：过C点作AD垂线，得到全等即可。

一、中线把三角形面积等分

如图，ΔABC中，AD是中线，延长AD到E，使DE=AD，DF是ΔDCE的中线。已知ΔABC的面积为2，求：ΔCDF的面积。

分析：利用中线分等底和同高得面积关系。

二、中点联中点得中位线

如图，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，BA、CD的延长线分别交EF的延长线G、H。求证：∠BGE=∠CHE。

分析：联BD取中点联接联接，通过中位线得平行传递角度。

三、倍长中线

如图，已知ΔABC中，AB=5，AC=3，连BC上的中线AD=2，求BC的长。

分析：倍长中线得到全等易得。

四、RtΔ斜边中线

如图，已知梯形ABCD中，AB//DC，AC⊥BC，AD⊥BD，求证：AC=BD。

分析：取AB中点得RTΔ斜边中线得到等量关系。

由全等三角形想到的辅助线

一、倍长过中点得线段

已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是。

分析：利用倍长中线做。

二、截长补短

如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分 ，求证：∠A+∠C=180

分析：在角上截取相同的线段得到全等。

三、平移变换

如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+AC>AD+AE

分析：将△ACE平移使EC与BD重合。

四、旋转

正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数

分析：将△ADF旋转使AD与AB重合。全等得证。

一、平移一腰

所示，在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，AB∥DC，AD＝15，AB＝16，BC＝17. 求CD的长。

分析：利用平移一腰把梯形分割成三角形和平行四边形。

二、平移两腰

如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＋∠C=90°，AD=1，BC=3，E、F分别是AD、BC的中点，连接EF，求EF的长。

分析：利用平移两腰把梯形底角放在一个三角形内。

三、平移对角线

已知：梯形ABCD中，AD//BC，AD=1，BC=4，BD=3，AC=4，求梯形ABCD的面积。

分析：通过平移梯形一对角线构造直角三角形求解。

四、作双高

在梯形ABCD中，AD为上底，AB>CD，求证：BD>AC。

分析：作梯形双高利用勾股定理和三角形边边边的关系可得。

五、作中位线

（1）如图，在梯形ABCD中，AD//BC，E、F分别是BD、AC的中点，求证：EF//AD

分析：联DF并延长，利用全等即得中位线。

（2）在梯形ABCD中，AD∥BC， ∠BAD=90°，E是DC上的中点，连接AE和BE，求∠AEB=2∠CBE。

分析：在梯形中出现一腰上的中点时，过这点构造出两个全等的三角形达到解题的目的。