定义给定一组背景属性下，治疗组与对照组的结果均值之差为平均治疗效应（cate），估计cate是观察性研究中的基本问题之一，如医疗处理对患者的平均因果效应。研究者们提出了很多方法来估计单个数据集上的cate，但由于样本量无限，得到的因果效应估计值精度较低。一个自然的想法是结合其他类似的数据集，增大样本量，提高因果效应估计的精度。同时，在大数据时代下，多源异构数据的爆炸性增长也为数据融合估计cate带来了令人兴奋的机遇和挑战。

在本文中，我们主要介绍一种基于同质和异质数据估计cate的因果数据融合方法。首先，提出数据融合的直接学习框架，将目标因果效应从其他函数中分离出来，并实现因果效应估计的双重稳健性。其次，为提高估计的精度和稳定性，本文基于半参数服从理论，提出因果信息感知加权函数。最后，基于构造伪结果和在加权最小二乘准则下对协变量进行回归，引入一种加权多源直接学习器（wmdl），其具有易实现、双重稳健性和模型灵活性的优点。下面我们进行具体介绍。

一、定义与符号

按照惯例，大写字母表示随机变量，小写字母表示具体实现值；y表示感兴趣的结局，a表示二值处理目标，x表示协变量，y (a)表示当治疗a被设置为a时观察到的潜在结果。

1.1 异质医治效应：，其中，。它可表示由协变量X不同定义的不同亚群间的平均处理效应的异质性。另一方面，考虑关于结果的一般模型，观察到的结果可以通过以下建模：

 (1)

其中，，令为主要效应函数，为处理效应函数。注意到，因此，估计CATE等价于估计处理效应函数。

1.2 异构数据源：假设数据来自K个相互独立的数据源，数据源S = {1，···，K}。考虑在不同数据集中观察到的协变量不同，令X表示所有数据集共有的感兴趣的协变量，表示第ｓ个数据集中除协变量X之外特有的协变量。表示从第S个数据源观察到的数据集，因此，其中样本独立同分布，服从于。当不同来源的数据是来自同一大总体的样本时，本文将这些数据称为同构数据，否则称为异构数据。

1.3 假设：

二、方法

2.1 因果数据融合

定义数据源ｓ的主要效应函数和处理效应函数分别为和，

在多个数据源的场景下，按照公式(1)相同的推导，对观察到的结果进行建模得公式（2）：，

1)同构因果数据融合，其中不同数据源之间的条件平均处理效应是相等的，即；

2)异构因果数据融合，至少有一个数据源与其他数据源具有不同的条件平均处理效应。

2.2 同质因果数据融合的直接学习

令表示治疗倾向评分、表示选择倾向得分，有和。

部分平衡性：若

依据部分平衡性，建立同质因果数据融合的双重稳健性直接学习方法，即定理１：若假设1-3成立，且是任意的正可积函数，则，其中每个数据源需满足以下条件之一：１）；２）主要效应函数，并且满足关于的部分平衡性。

2.3 因果信息感知加权函数

如定理１所示，权值函数在直接学习中起着重要的作用；的选择不一定影响估计的一致性，但影响估计量的效率。理想的权重应该是有利于提高估计精度和稳定性。为此，本文提出一个由半参数效率界驱动的加权函数，描述用于推断目标参数所包含的观测数据中的信息量。在不失一般性情况下，将第一个数据源设置为目标数据源，即它的样本是从我们感兴趣的总体中提取的。

对应于数据集s和混杂x的界用表示，基于数据的任何正则渐近线性估计量的渐近方差都不能小于这个界。则和之间关于x的相对信息为

以上加权函数可以分解为两个分量的乘积：１)转移项描述第s个数据源与目标数据源之间的不平衡性，占目标种群较大份额的亚种群分配更大的权重；２)信息项描述满足的因果信息量，因此包含更多因果信息的样本分配更大的权重。

最后，提出加权多源直接学习器（WMDL）方法，如算法１：

2.4 异构因果数据融合的直接学习

由于异构因果数据融合中假设3不再满足，我们将重写为，因此感兴趣的因果效应量是。类似于定理1，若满足假设1-2，我们可通过求解得到函数。

因此，对于异构因果数据融合，我们仍可应用所提出的WMDL，以一种直接、灵活并鲁棒的方式来估计CATE。具体来说，nuisance估计器与同构因果数据融合设置保持相同，并且CATE的估计过程与算法1相似，只是最后一步我们是求解。

三、讨论

本文考虑所有数据集包含共有的协变量X，然而，在某些情况下，只有目标人群的协变量可获得。因此，将其他数据源的因果效应迁移到目标人群也是很有趣的，并本文提出的WMDL也可以应用于因果迁移学习。同时，本文提出的因果数据融合的直接学习方法是双加权的，其中治疗倾向评分调整了偏差并增强了鲁棒性，因果信息感知加权函数提高了效率。在未来，或许可以考虑将模型的不确定性添加到加权函数中，以获得更稳定的性能。

四、参考文献

[1] Li, Xinyu, et al. “Robust Direct Learning for Causal Data Fusion.” arXiv preprint arXiv:2211.00249 (2022).