初二数学上册:三角形三边关系常考3大类型
运用“三角形任意两边之和大于第三边”和“三角形任意两边之差小于第三边”,可以解决三角形三边之间的关系问题。由于这两个知识点后者可以由前者推得,所以处理三角形三边之间的关系问题有前者就足够了。前一知识点的另一个说法是:若a、b、c分别为三角形的三边,则可以随意推得下列结论中的一个或几个,即a+b>c,①b+c>a,②c+a>b③;反之,若要使a、b、c能够成为某个三角形的三边(构成三角形),则①、②、③必须同时成立,缺一不可。
一、三边大小关系确定型
若a≥b≥c,则①、③两式恒成立,此时只须满足b+c>a即可,亦即三角形较小两边之和大于最大边。
例1、已知线段a、b、c的长度满足a<b<c,那么以a、b、c组成三角形的条件是( )
A、c-a<b
B、2b<a+c
C、c-b>a
D、b2<ac
解析:C为最长边,故a+b>c即可,由此式有c-a<b,故本题应选A。
例2、设a>0,某三角形的三边长依次为a-2,a,a+3,求a的取值范围。
解析:易知a-2<a<a+3,则(a-2)+a>a+3,故a>5。
例3、下列能组成三角形的一组线段是( )
A、2,3,5
B、2,6,3
C、a+2,2a+3,3a+4(a>0)
D、1-a,2-a,3-2a(a<0)
解析:在A中,2+3=5;在B中2+3<6;在C中,a+2<2a+3<3a+4,且有(a+2)+(2a+3)>3a+4;在D中,(1-a)+(2-a)=3-2a。综上可知,A、B、D应排除,正确答案为C。
二、仅有两边大小关系确定型
若a≥b,则③式恒成立,此时只须满足a+b>c且b+c>a即可,针对第三边c,由此两式易得a-b<c<a+b,亦即三角形的第三边大于长边与短边之差,而小于长边与短边之和。
例4、两根木棒的长分别为8cm,10cm,要选择第三根木棒将它们钉成一个三角形,那么第三根木棒长x的范围是 。
解析:因10>8,故l0cm-8cm<x<10cm+8cm,即2cm<x<18cm。
例5、已知等腰三角形的周长为20,腰长为x,求x的取值范围。
解析:易知三边长分别为x,x,20-2x,因x=x,故视20-2x为第三边,则x-x<20-2x<x+x,即0<20-2x<2x。解得5<x<10。
例6、已知:三角形的一边是另一边的2倍,求证:它的最小边长在它周长的与之间。
解析:设三边分别为a,b,c,且a=2b。因a>b,c为第三边,故a-b<c<a+b,即2b-b<c<2b+b。∴b<c<3b,由此知b为最小边,并继续有(a+b)+b<(a+b)+c<(a+b)+3b,∴2b+b+b<a+b+c<2b+b+3b,4b<a+b+c<6b,解得(a+b+c)<b<(a+b+c)。
三、三边大小关系未定型
此种情况须综合考虑①、②、③,才能正确解题。
例7、三角形的边长分别为a、b、c,且|b+c-2a|+(b+c-5)2=0,则b的取值范围是 。
解析:由题设条件易得b+c=5,a=,此时b+c>a已成立,考虑①、③,得+b>5-b且(5-b)+>b,解得b>且b<。∴<b<。
例8、设三边不等的三角形的各边之长都是整数,周长等于15,那么这种三角形的个数有
个。
解析:设三边分别为a,b,c,且a>b>c,则b+c>a,∴a+b+c>2a,即15>2a,∴a<7.5。
又a>b, a>c, ∴2a>b+c,3a>a+b+c,即3a>15,∴a>5。又a<7.5,∴5<a<7.5,a=6或7。
当a=6时,b+c=9,易知满足6>b>c的整数为b=5,c=4;当a=7时,b+c=8,易知满足7>b>c的整数为b=6,c=2或b=5,c=3。故填3。
end