初中||数学题型汇总15——利用绝对值、乘方的性质求值(八)


【典型例题15】



对于任意有理数x、y,试证明:|x|+|y|≥|x+y|,并利用这一结论求|x-2|+|x+4|的最小值.


【答案解析】

解题思路:

①证明:分x、y同号、x、y至少一个为0和x、y异号进行讨论证明;②求最小值:注意|x-2|=|2-x|等量代换是本题的关键,再利用已经证明的结论|x|+|y|≥|x+y|,将所求代数式进行化简求值.


解:

若x、y同号或至少有一个为0,则有|x|+|y|=|x+y|;x、y异号,则有|x|+|y|>|x+y|.所以对于任意有理数x、y,|x|+|y|≥|x+y|总成立.

根据上述结论,∵|x-2|=|2-x|,

∴|x-2|+|x+4|=|2-x|+|x+4|≥|2-x+x+4|=6;

显然当x=0或 x=2时,|x-2|+|x+4|=6.

综上所述,代数式|x-2|+|x+4|的最小值是6(事实上,当x取-4到2之间的任意数时,代数式的值都为6.


规律总结:

复杂题目注意运用等量代换的数学思想方法,如本题中用|2-x|代替|x-2|使得题目简单化.本题同时学习到整体思想,如:由|x|+|y|=|x+y|得出|2-x|+|x+4|≥|2-x+x+4|.


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