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导读

第一章 有理数

一．知识框架

二．知识概念

1.有理数： (1)凡能写成形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a不一定是负数，+a也不一定是正数；不是有理数； (2)有理数的分类:①② 2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 3．相反数： (1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0； (2)相反数的和为0a+b=0a、b互为相反数. 4.绝对值： (1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的差异数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离； (2)绝对值可表示为：或；绝对值的问题经常分类讨论； 5.有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数＞0，小数-大数＜0. 6.互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若a≠0，那么的倒数是；若ab=1a、b互为倒数；若ab=-1a、b互为负倒数.

7.有理数加法法则：

（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；

（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；

（3）一个数与0相加，仍得这个数.

8．有理数加法的运算律：

（1）加法的交换律：a+b=b+a；（2）加法的结合律：（a+b）+c=a+（b+c）.

9．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b）.

10.有理数乘法法则：

（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；

（2）任何数同零相乘都得零；

（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.

11.有理数乘法的运算律：

（1）乘法的交换律：ab=ba；（2）乘法的结合律：（ab）c=a（bc）；

（3）乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac.

12．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，.

13．有理数乘方的法则：

（1）正数的任何次幂都是正数；

（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n为正奇数时:(-a)n=-an或(a-b)n=-(b-a)n,当n为正偶数时:(-a)n=an或(a-b)n=(b-a)n.

14．乘方的定义：

（1）求相同因式积的运算，叫做乘方；

（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；

15．科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法.

16.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.

17.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字.

18.混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减.

本章内容要求学生正确认识有理数的概念，在实际生活和学习数轴的基础上，理解正负数、相反数、绝对值的意义所在。重点利用有理数的运算法则解决实际问题.

体验数学发展的一个重要原因是生活实际的需要.激发学生学习数学的兴趣，教师培养学生的观察、归纳与概括的能力，使学生建立正确的数感和解决实际问题的能力。教师在讲授本章内容时，应该多创设情境，充分体现学生学习的主体性地位。

三角形的定义

由不在同一直线上的三条线段首尾依次相接组成的图形叫做三角形.

三角形有三条边，三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点。

三角形的表示

三角形ABC用符号表示为△ABC，三角形ABC的边AB可用边AB所对的角C的小写字母c 表示，AC可用b表示，BC可用a表示.三个顶点用大写字母A,B,C来表示。

注意：

(1)三条线段要不在同始终线上，且首尾顺次相接；

(2)三角形是一个封闭的图形；

(3)△abc是三角形abc的标记标记，单独的△没有意义。

三角形的分类

(1)按边分类：

(2)按角分类

三角形的主要线段的界说

②∠1=∠2=∠BAC.

注意：①三角形的角平分线是线段；

②三角形三条角平分线全在三角形的内部且交于三角形内部一点；（注：这一点角三角形的外表。角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边距离相等）

③用量角器画三角形的角平分线。

(3)三角形的高

从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，极点和垂足之间的线段．

表示法：①ad是△abc的bc上的高线

②AD⊥BC于D

③∠adb=∠adc=90°.

注意：①三角形的高是线段；

②锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在形外；(三角形三条高所在直线交于一点．这点叫垂心）

③由于三角形有三条高线，所以求三角形的面积的时辰就有三种（因为高底不一样）

三角形的主要线段的表示法

三角形的角平分线的表示法：

如图1，根据具体情况使用以下任意一种方式表示：

① ad是dabc的角平分线；

②  AD平分ÐBAC，交BC于D；

(图1)

(2)三角形的中线表示法：

如图1，根据具体情况使用以下任意一种方式表示：

①AE是DABC的中线；

②AE是DABC中BC边上的中线；

(3)三角线的高的表示法：

如图2，根据具体情况，使用以下任意一种方式表示：

①AM是DABC的高；

②AM是DABC中BC边上的高；

③如果AM是DABC中BC边上高，那么AM^BC，垂足是E；

在画三角形的三条角平分线，三条中线，三条高时应注意：

(1)如图3，三角形三条角平分线交于一点，交点都在三角形内部.

(2)如图4，三角形的三条中线交点一点，交点都在三角形内部.

图3    图4 

如图5,6,7，三角形的三条高交于一点，锐角三角形的三条高的交点在三角形内部，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部，直角三角形的三条高的交点在直角三角形的直角顶点上.

图5    图6    图7

三角形的三边关系

三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边.

注意：(1)三边关系的依据是：两点之间线段是短；

(2)围成三角形的条件是任意两边之和大于第三边．

三角形的角与角之间的关系

(1)三角形三个内角的和等于180°;

(2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；

(3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.

(4)直角三角形的两个锐角互余.

三角形的内角和定理

定理：三角形的内角和等于180°．

推论：直角三角形的两个锐角互余。

推理过程：

(1)作CM∥AB，则∠4=∠1，而∠2+∠3+∠4=180度，

即∠A+∠B+∠ACB=180度．

(2)作MN∥BC，则∠2=∠B，∠3=∠C，而∠1+∠2+∠3=180度

即∠BAC+∠B+∠C=180度．

注意：

(1)证明的思路很多，基本思想是组成平角．

(2)应用内角和定理可解决已知二个角求第三个角或已知三角关系求三个角．

三角形的外角的定义

三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.

注意：每个顶点处都有两个外角，但这两个外角是对顶角.（所以一般我们只研究一个）

如:∠ACD、∠BCE都是△ABC的外角，且∠ACD=∠BCE.   

 所以说一个三角形有六个外角，但我们每个一个顶点处

只选一个外角，这样三角形的外角就只有三个了.

三角形外角的性质

(1)三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和．

(2)三角形的一个角大于与它不相邻的任何一个内角．

注意：(1)它不相邻的内角不容忽视；

(1)作CM∥AB由于B、C、D共线

 ∴∠A=∠1，∠B=∠2.

即∠ACD=∠1+∠2=∠A+∠B.

那么∠ACD>∠A.∠ACD>∠B.

三角形的稳定性

三角形的三边长确定，则三角形的形状就唯一确定，这叫做三角形的稳定性。

注意：(1)三角形具有稳定性；

(2)四边形没有稳定性.

关于三角形会经常遇到的题型：

适当添加辅助线，寻找基本图形。

(1)基本图形一，如图8，在ABC中，AB=AC，B,A,D成一条直线，

图8

(2)基本图形二，如图9，如果CO是∠AOB的角平分线，DE∥OB交OA,OC于D,E，那么DOE是等腰三角形，DO=DE.当几何问题的条件和结论中，或在推理过程中出现有角平分线，平行线，等腰三角形三个条件中的两个时，就应找出这个基本图形，并立即推证出第三个作为结论.即：角平分线+平行线→等腰三角形.

图9

(3)基本图形三，如图10，如果BD是ÐABC的角平分线，M是AB上一点，MN^BD，且与BP,BC相交于P,N.那么BM=BN，即DBMN是等腰三角形，且MP=NP，即：角平分线+垂线→等腰三角形.

当几何证题中出现角平分线和向角平分线所作垂线时，就应找出这个基本图形，如等腰三角形不完整就应将基本图形补完整，如图11，图12。

多边形

在同一平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫多边形。

(1)多边形的对角线

连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。

(2)正多边形

各边相等，各角都相等的多边形叫做正多边形

(3)多边形的内角和为（n-2）*180度

多边形的外角和为 360度

注：当求角度时应该想起   内角和 或者 外角和 或者 一个角的外角

密铺

所谓“密铺”，就是指任何一种图形，如果能既无空隙又不重叠的铺在平面上，这种铺法就叫做“密铺”。

用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌。

可单独密铺的图形

①所有三角形与四边形均可以单独密铺。

②正多边形只有正三角形、正四边形、正六边形可以单独密铺。　

③对边平行的六边形可以单独密铺。

平面上有：完全相同的三角形、四边形能密铺（或三角形与四边形组合）、正多边形密铺时,只有正三、四、六边形可以密铺。

(利用内角和的知识来计算，如：任意三角形内角180，则三个相同的任意三角形即可形成∠180，六个就可以密铺；同理，四边形内角360，四个就可以密铺；正多边形的顶角的整数倍等于180或360)

曲面像12个正五边形和20个正六边形可以铺成个球(足球就是)。

【知识网络】

【知识解读】

1．一元二次方程的定义

2．一元二次方程的解法

注意事项：

解一元二次方程常见的思维误区是忽略几个关键：用因式分解法解方程的关键是先使方程的右边为0；用公式法解方程的关键是先把一元二次方程化为一般形式，正确写出a、b、c的值；用直接开平方法解方程的关键是先把方程化为(mx-n) 2=h的形式；用配方法解方程的关键是先把二次项系数化为1，再把方程的两边都加上一次项系数一半的平方.

解具体的一元二次方程时，要分析方程的特征，灵活选择方法．公式法是解一元二次方程的通法，而配方法又是公式法的基础（公式法是直接利用了配方法的结论）．分解因式法可解某些特殊形式的一元二次方程．掌握各种方法的基本思想是正确解方程的根本．一般说来，先特殊后一般，即先考虑分解因式法，后考虑公式法．没有特别说明，一般不用配方法．

3．一元二次方程的实际应用

方程是解决实际问题的有效模型和工具，解方程的技能训练要与实际问题相联系，在解决问题的过程中体会解方程的技巧，理解方程的解的含义．

利用方程解决实际问题的关键是找出问题中的等量关系，找出题目中的已知量与未知量，分析已知量与未知量的关系，再通过等量关系，列出方程，求解方程，并能根据方程的解和具体问题的实际意义，检验解的合理性．

列一元二次方程解应用题的一般步骤可归纳为审、设、列、解、验、答．

审：读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的等量关系；

设：设元，也就是设未知数；

列：列方程，这是非常重要的关键步骤，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系，然后列代数式表示相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程；

解：解方程，求出未知数的值；

验：检验方程的解能否保证实际问题有意义；

答：写出答语．

相等关系的寻找应从以下几方面入手：

①分清本题属于哪一类型的应用题，如行程问题，则其基本数量关系应明确（vt=s）．

②注意总结各类应用题中常用的等量关系．如工作量（工程）问题．常常是以工作量为基础得到相等关系（如各部分工作量之和等于整体1等）．

③注意语言与代数式之间的转化．题目中多数条件是通过语言给出的，我们要善于将这些语言转化为我们列方程所需要的代数式．

④从语言叙述中寻找相等关系．如甲比乙大5应理解为 “甲=乙＋5”等．

⑤在寻找相等关系时，还应从基本的生活常识中得出相等关系．

总之，找出相等关系的关键是审题，审题是列方程的基础，找相等关系是列方程解应用题的关键．