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2022年甘肃省武威中考多少综合题解析

2022年甘肃省武威中考几何综合题解析

问题．已知正方形ABCD，E为对角线AC上一点．
【建立模型】
（1）如图1，连接BE，DE．求证：BE＝DE；
【模型应用】
（2）如图2，F是DE延长线上一点，FB⊥BE，EF交AB于点G．
①判断△FBG的形状并说明理由；
②若G为AB的中点，且AB＝4，求AF的长．
【模型迁移】
（3）如图3，F是DE延长线上一点，FB⊥BE，EF交AB于点G，BE＝BF．求证：GE＝（﹣1）DE．
【考点】四边形综合题．
【分析】（1）（1）先判断出AB＝AD，∠BAE＝∠DAE＝45°，进而判断出△ABE≌△ADE，即可得出结论；
（2）①先判断出∠AGD＝∠FBG，进而判断出∠FBG＝∠FGB，即可得出结论；
②过点F作FH⊥AB于H，先求出AG＝BG＝2，AD＝4，进而求出AH＝3，进而求出FH＝2，最后用勾股定理即可求出答案；
（3）先判断出EF＝ 

 BE，由（1）知，BE＝DE，由（2）知，FG＝BF，即可判断出结论．

【解答】（1）证明：∵AC是正方形ABCD的对角线，


∴AB＝AD，∠BAE＝∠DAE＝45°，
∵AE＝AE，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴BE＝DE；
（2）解：①△FBG为等腰三角形，理由：


∵四边形ABCD是正方形，
∴∠GAD＝90°，
∴∠AGD+∠ADG＝90°，
由（1）知，△ABE≌△ADE，
∴∠ADG＝∠EBG，
∴∠AGD+∠EBG＝90°，
∵PB⊥BE，
∴∠FBG+∠EBG＝90°，
∴∠AGD＝∠FBG，
∵∠AGD＝∠FGB，
∴∠FBG＝∠FGB，
∴FG＝FB，
∴△FBG是等腰三角形；
②如图，过点F作FH⊥AB于H，


∵四边形ABCD为正方形，点G为AB的中点，AB＝4，
∴AG＝BG＝2，AD＝4，
由①知，FG＝FB，
∴GH＝BH＝1，
∴AH＝AG+GH＝3，
在Rt△FHG与Rt△DAG中，∵∠FGH＝∠DGA，
∴tan∠FGH＝tan∠DGA，
∴ 

 ＝2，

∴FH＝2GH＝2，
在Rt△AHF中，AF＝ 

 ；

（3）如图，

∵FB⊥BE，
∴∠FBG＝90°，
在Rt△EBF中，BE＝BF，
∴EF＝ 

 BE，

由（1）知，BE＝DE，
由（2）知，FG＝BF，
∴GE＝EF﹣FG＝ 

 BE﹣BF＝ 

 DE﹣DE＝（ 

 ﹣1）DE．

【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，作出辅助线构造出直角三角形是解（



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