圆的周长公式怎么来的?看完分分钟涨学问
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话说，有一天，”无所不能”的爸爸在给小明指点功课。
爸爸：“你看吧，这个路程就是这个半圆的周长，咱们知道圆的周长计算公式为：c = 2πr = πd…….”
“爸爸，圆的周长公式怎样来的？”一脸天真的小明，托着腮帮，猎奇地打断。
爸爸想了一会儿，憋着通红的脸，说到：“这是定理！”
不料，小明诘问：“那定理又是怎样来的？”
爸爸：。。。。。。
好吧，为了避免上述尴尬，本期谷老师通过借助“阿基米德”和“刘微”(九章算术)的分析，来说明这个公式的推导思路，分享给大家。
每天叫醒你的不是闹钟，而是梦想和态度
难易指数：★★★★★★(超难度)
适宜对象：小学培优
本期编号：D00016
证明：圆的周长 C = 2πr = πd。(其中r为圆的半径，d为直径)
背景：
原理说明：
1）高等数学”夹逼定理“简化版：(具体见本文后面说明)
如果A ≤ B ≤ C，且A=1，C=1，则B=1。
已知的求周长的几何图形，正多边形无疑是最简单的了，正三角形、正四边形、正五边形、正六边形……，但是乍一看，无论如何，我们也没法直接将圆和正多边形联系在一起，然而，根据夹逼定理，我们可以想象，用圆内接正多边形和外切正多边形，来辅助求解。
2）另外还需要知道的基本原理是：直角三角形的边角关系及勾股定理
a）直角三角形中，三边的关系为：
a2 + b2 = c2，其中c为斜边。
b）直角三角形30°、60°、45°，角边关系，分别为斜边的0.5、1.732、1.414倍。
解答：
根据上述分析，分别用多边形去内接或外切“单位圆”，如下。
1）三角形：
2）正方形：
3）正五边形
4）正六边形
5）正八边形
6）正十边形
7）正12边形
8）正96边形，已经看不清了，基本就是一个圆了。
从上图多边形的接入过程可知，多边形的周长越来越接近圆的周长。因此求圆的周长，就转换了求正多边形的周长，也就是正多边形的边长。
验算
下面我们用正六边形来验证，用正六边形去接入”单位圆”，此时有：
1）内接正六边形由6个正三角形组成，因此，其周长为6。
2）圆外切正6边形的边长为：2×1.732÷3=1.1546，周长为6.928。
3）用公式计算的圆周长为，2×3.1415 = 6.283，在[6, 6.928]之间。
继续上述步骤验算
依次计算12边形、24边形、36边形、96边形，可以算得周长越来越接近6.283 = 2×3.1415×1，而：π=3.1415，故圆的周长公式为：C = 2πr
总结
1）大多数学生都不知道公式怎么来的，只知道死记硬背。
2）了解公式和原理的来龙去脉，比刷题更有意义。
同类拓展：
1.“那年春，夫子去国游历，遇桃山美酒，遂寻径登山赏桃品酒，一路摘花饮酒而行，始切一斤桃花，饮一壶酒，后夫子惜酒，故再切一斤桃花，只饮半壶酒，再切一斤桃花，饮半半壶酒，如是而行……至山顶，夫子囊中酒尽，惘然四顾，问：一共切了几斤桃花，饮了几壶酒？”
长篇玄幻小说《将夜》，作者猫腻，
答案：夫子饮 2 壶酒，斩尽满山桃花。
2.分析刘徽“割圆术”证明圆周长公式思路。
“近十期”精彩回顾
D00015期：等差数列（7种解法）
D00014期：巧算（台湾小学数学竞赛）
D00013期：圆的周长 (美国 AMC8竞赛)
D00012期：最大公约数（分而治之算法）
D00011期：算式谜
D00010期：计数问题（广度优先搜索算法）
D00009期：定义新运算（美国AMC 10A竞赛）
D00008期：孙子问题 (《算法导论》余数问题)
D00007期：年龄问题（美国 AMC 10A竞赛）
D00006期：工程问题
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夹逼定理
三明治定理(又称夹逼定理)说的是，如果一个函数f被夹在函数g和h之间，当x–>a时，这两个函数g和h都收敛于同一个极限L，那么当x–>a时，f也收敛于极限L。
《普林斯顿 微积分读本》[美] Adrian Banner 3.6节
下图是对该定理的具体的描述。
圆周率π
刘徽简介
阿基米德（公元前287年—公元前212年）
每日寄语：宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。《警世贤文·勤奋篇》
