如何向小学生表明欧拉公式
上面的这幅图形象的说明了什么事欧拉公式，看不懂是吧，看完就认识打听了。代数是抽象的，然而美的代数公式都会有对应的几何含义。
数学 不是高深莫测的
Maths is for everyone.
intuitive meaning:
按照小学生的数学功力，目前来说应该只了解π是什么，对于i和e就一无所知了。目前小学生掌握的数学知识应该包括：正负数，整数，分数，小数，加法，乘法，简单的平面几何，一元方程，幂的基本知识(a^3)^4=a^4)^3=a^12。如果你想通过三角函数来解释这个公式为什么make sense那就too young too森破了。
所以我们必须要另辟蹊径，寻找这个公式最根本的含义。
e^πi+1=0表达的是一种图形的变化。简单的来说，即是从1出发，沿着i的方向旋转π个单位，最后转到了-1。
Sounds like magic huh?
好了，接下来我们要一点一点的给各位小朋友讲为什么它划了个半圆。请各位六年一班的小朋友双手背后，认真听讲，下课小测验不及格的同学，酒老师可是要请家长的哦~
首先，我们来复习一下π是啥？哪位同学可以回答一下？
王小明：老师，π是圆周长和直径的比值！
酒老师：回覆正确！
酒老师：所以如果我们以1为半径画一个圆，那么半个圆的长度，就是π，大家一定要记清楚！
接下来，我们来说一下第二个问题，什么是i？
同学们，接下来我们做几道简朴的数学题x
那么大家有没有想过一个问题x^2=4,那么x=? y^2=1,那么y=?
王小明：老师，x=±2，y=±1
酒老师：回答正确，那么大家再想一想x^2=-1，那么x等于多少呢？
王小明：（一脸懵逼）
酒老师：我们知道1 5 8 23 101这些叫做整数， 0.3 0.25 1.58这些叫做小数，3/4 6/7 这些叫做分数，即日我就来带领大家认识一个新的数i.
我们都知道1和1相乘的结果是1，那么怎么定义呢？ i和i相乘的结果是-1，i^2=-1。可能对于有些同学来说这个概念比较难理解，接下来酒老师画个图，可能大家就一目了然了。
我们都知道的是1*x*x=4,x=±2这个在几何里面是什么意思呢？ X=2意味着，把1放大两倍之后再放大两倍，我们能得到4。X=-2意味着是把1放大两倍并且变化方向，然后再放大两倍再变换方向，我们也能得到4。
相似的是，如果我们1*x*x=-1那我们该怎么算？
x不能是正数，由于正正为正。
X也不能是负数，因为负负为正。
那么怎么经过两次变化，就从1变到-1了呢？
给大家一个提示，把数轴想象成一个平面….
王小明：让1在这个平面里转圈圈不就好了！
酒老师：是呀。如果我们把i想象成逆时针旋转两次的话那么1*i*i不就是-1了么！
酒老师：有的同学会问，那么i到底是不是一个数呢？
大家记住，i是一个数，并且i描述的是一种全新的描述数的概念。通过把1旋转，在上面的这个平面里，我们得到了一个新的数i，它的界说就是i^2=-1 在图里面 横着的是我们之前学习过的数，例如 1 6 5.8这种，而竖直的是我们今天学习的i
如果我们从1开始，每次都*i会怎么样？
1=1
1*i=i转动一次到达90°
1*i*i=-1 i的定义
1*i*i*i=-i 转动3次 来到-i
1*i*i*i*i=1 旋转4次等于转了一圈 原地不动
好了，最后，大家记住，i^2=-1，*i的几何含义是逆时针旋转90°
王小明：哇，酒教授好棒！！
（有的读者可能会质疑复数概念和运算的问题因为在这个里面并不会用到运算，所以暂时不引用）
酒老师：接下来我们讲一讲公式中最后一个重要的是数字e。它是什么呢？
想必小朋友都和爸爸妈妈去银行存过钱吧？现在呢，酒老师给每个同学1块钱，给大家一年的工夫，请同学们把钱存到银行里，每年的利率是100%，看看哪位同学最后连本带利得的最多？
银行有不同的存法，你把一年分成多少分每一份的利息就是100%除以份数。具体的存法，每位同学可以参考下面的图表。每个同学可以有不同的选择，看看哪位同学最后得到的钱最多？假如你有1块钱，你生存银行里一年之后取出，是2块钱。但是如果你只存半年之后取出，是1+1*50%=1.5，是1.5元。你再存半年的话是1.5+1.5*50%=2.25元。看是不是比刚才多了？
如果分成三份，同学们看，是不是比刚才又多了？
如果继续这样分下去，各位同学比一比，看看分红多少分才能得到的钱最多呢？
是不是如果继续把份数增加，我们的钱就会一直增加？成为“大款”呢？
王小明：好像是的哦。。。
酒老师：不是的！ 无论我们怎样增长，都不能超过一个数，这个数字就是e啦！
王小明：那为什么是e呢？
酒老师：e实际上代表的是一个增长的极限，也就是无论你分成多少份，总增长的和永远不会超过e！在一年的时间里面，无论你分成多少份去翻倍，都不可能超过e。
王小明：懂了，原来e就是一段时间内，以1开始，这种翻倍增长可能达到的最大值呀！
酒老师：是的。所以，e就是一个极限值，就像是光速能达到每秒30万公里一样，你可能永远达不到这个值，但是e就是一个参考值，很多自然世界中的增长速度，比如说细菌的繁殖，比如说物体冷却的速度，都是和这个极限值有一定联系的。
王小明：原来如此高深莫测！
酒老师:：严格来说e的表达式是e=(1+1/n)^n（注：这里省略了limn→∞，并不想给小学生引入太复杂的概念），他的意义是，在一个单位时间内，连续的翻倍增长所能达到的极限值。 值得注意的是，所有的自然地增长，虽然可能没有达到这个极限，但是都能够通过某种方法，和e有着某种关系。这种关系衡量着这种增长的速度。
王小明：怎样的联系呀？
酒老师：举个例子来说：假如刚刚的银行，存一年的利息没有100%了，那么一年之后，你最多能够拿到多少钱？
王小明：这。。。（继续一脸懵逼）
我们来看一下
(1+50%/n)^n
设n=0.5m
=(1+50%/0.5m)^0.5m
=(1+100%/m)^m^0.5
=e^0.5（这个该怎么达成正确的数学公式？）
是不是很神奇？
如果我们把0.5换成x的话，我们就会很轻易得到(1+x/n)^n=e^x
大家不要忘记的是，我们做的一直是乘法也就是许许多多个(1+x/n)不断相乘，最后得到的结果就是e^x
还不理解什么意思？ 来看一下这个图。
现在懂了么？
王小明：嗯！
所以说我们就是在做乘法，很多很多个乘法….e呢，就是一个衡量你能增长多快的速度 记住，增长=e^增长速率
王小明：酒老师！那么3年该怎么算？
酒老师：三年该怎么计算？应该是1*e^x*e^x*e^x=1*e^3x (幂的运算) 所以再记住
增长=e^增长速率*时间再把所有今天讲的内容拼凑到一起之前，我们来总结一下e。 e是在单位时间内连续翻倍增长可能达到的最大值，增长=e^增长速率*时间。换一个角度来思考的话，仍和一个数字，都可以在某个时间通过某个增长率来达到！
比如说以e^1的速度增长，9=e^ln9。这里面的ln9 就是达到9这个数字的时间，尽管大家可能还不太懂ln9是什么。。。
王小明：好棒！
Now let’s put the jigsaw together.
酒老师：我们刚刚说到e是增长的体现，i的意义是旋转，那么e^i是啥意思呢？
王小明：那不就是旋转的增长么！so intuitive!那么e^πi呢？更直觉的来说，那就是在增长π这么多啊！那就从1转到了-1呀。
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