初中数学基础知识（八年级下册）

【第16章】 二次根式

第1课时：二次根式的观念

1.已知x2=a，那么a为x的平方；x为a的平方根，记为x=±。a黑白负数（或a≥0）.

2.一个正数有两个平方根；0的平方根为0 ；在实数范围内，负数没有平方根。

3.一般地，我们把形如（a≥0)的式子叫做二次根式。“”称为二次根号。

★二次根式的三个特征：（1)a可以是数，也可以是式子；（2)形式上含二次根号“”；（3)被开方数a≥0.

★二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0.

4.对于二次根式 ,它表示a的算术平方根，则a≥0，≥0 ；即具有双重非负性。

第2课时：二次根式的性质

1.二次根式的性质：

（1) （a≥0),表示的意义：a的算术平方根的平方等于a。

（2) （a≥0), 表示的意义：a的平方的算术平方根等于a。

运用此性质化简时的运算顺序：①化简被开方数；②求被开方数的算术平方根。

★拓展：(a≥0);  (a≥0).

2.用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子叫做代数式。

第3课时：二次根式的乘法

1.二次根式的乘法法则： （a≥0,b≥0).

★二次根式与二次根式相乘，等于各被开方数相乘的算术平方根。

2.二次根式乘法法则的逆用：（a≥0,b≥0),用它进行二次根式的化简．

3.二次根式乘法法则的推广：

第4课时：二次根式的除法

1.二次根式的除法法则： （a≥0, b>0 ).

★二次根式与二次根式相除，等于各被开方数相除的算术平方根。

2.二次根式的除法法则的逆用：（a≥0,b>0), 用它进行二次根式的化简．

3.最简二次根式必须满足两个条件：（1)被开方数不含分母；（2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。在运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式。

第5课时：二次根式的加减

1.同类二次根式的定义：几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，那么这几个二次根式是同类二次根式。

2.合并同类二次根式的法则：把系数相加，根号部分不变。

3.一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同

的二次根式进行合并。

★二次根式加减的步骤：（1)将二次根式化为最简二次根式；（2)判断它们的被开方数是否相同；（3)将被开方数相同的二次根式进行合并．

第6课时：二次根式的混合运算

1.二次根式混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的，最终运算结果要化成最简二次根式。

★有理数的混合运算顺序和运算律依然适用于二次根式的混合运算。注意最后的结果一定要化为最简二次根式。多项式乘法法则和乘法公式在二次根式的运算中仍然成立。

2.常见计算公式：

（1)平方差公式：（a-b)(a+b)=a²-b²;

（2)完全平方公式：（a+b)²=a²+2ab+b² ,  （a-b)²=a²-2ab+b² .

（3)多项式乘多项式：（x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab.

【第17章】 勾股定理

第1课时：勾股定理

1.三角形的内角和是180°，两边之和大于第三边。两边之差小于第三边。

2.直角三角形具有一般三角形所有的性质，除此之外，两个锐角互余。

3.在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

4.如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么。即直角三角形两直角边长的平方和等于斜边的平方。符号语言：在RtΔABC中，∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,则。变形： ；。

★运用勾股定理及其变形公式解题时，注意要找对直角边和斜边。

第2课时：勾股定理的应用

1.在运用勾股定理时，首先要确定解题中的三角形为直角三角形，其次要分清直角三角形的斜边和直角边，不能确定时，要分情况讨论。

适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征。

典型题型：（1)求线段长度；（2)判断三角形的形状；（3)求最短距离．

2.利用勾股定理，还能在数轴上画出表示无理数的点．例：如图，点A表示的数是3,则OA=3,过点A 作直线l垂直于OA,在l上取一点B,使AB=2,以原点O为圆心，OB的长为半径作弧，弧与数轴的交点C,即为表示的点．

第3课时：勾股定理的逆定理

1.判断一件事情的语句叫做命题，命题由题设和结论两部分组成。

2.如果题设成立，那么结论一定成立的命题叫做真命题；如果题设成立，不能保证结论一定成立的命题叫做假命题。

3.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c满足,那么这个三角形是直角三角形。

★方法技巧：利用勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，就是看这个三角形最长边的平方是否等于两条较小边的平方和，如果相等，那么它就是直角三角形，否则就不是。

★一般步骤：（1)确定最大边；（2)分别算出最大边的平方及另两边的平方和；（3)比较最大边的平方及另两边的平方和是否相等，若相等，则说明这是一个直角三角形，否则就不是。

4.如果一个命题与另一个命题的题设、结论正好相反，我们把这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

★每一个命题都有逆命题，只需将原命题的题设与结论交换，就可以得到逆命题。逆命题是否正确与原命题无关。

5.例子：说出下列命题的逆命题，这些逆命题成立吗？

（1)同旁内角互补，两直线平行；

解：逆命题：两直线平行，同旁内角互补．此逆命题成立。

（2)如果两个实数相等，那么这两个实数的平方也相等；

解：逆命题：如果两个实数的平方相等，那么这两个实数也相等。此逆命题不成立。

（3)对顶角相等．

解：逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角。此逆命题不成立。

【第18章】 平行四边形

第1课时：平行四边形的边、角的性质

1.两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形用“□”表示，平行四边形ABCD记作□ABCD。平行四边形的对边平行。

2.平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫做平行四边形的对角线。

3.平行四边形的性质：平行四边形的对角相等；平行四边形的对边相等。

★注意：熟练掌握平行四边形的性质是解决其边、角题型的关键。

4.两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离。注意：平行线间的距离处处相等。

第2课时：平行四边形的对角线的性质

1.平行四边形的对角线互相平分。

2.平行四边形的对边平行且相等，对角相等。

第3课时：平行四边形的判定

1.利用平行四边形的定义进行判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

2.平行四边形的判定定理：

（1)两组对边分别平行（或相等）的四边形是平行四边形；

（2)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

（3)对角线互相平分的四边形是平行四边形；

（4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

第4课时：平行四边形的性质与判定

1.平行四边形的性质：

平行四边形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分。

2.平行四边形的判定：

（1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（4)对角线互相平分的四边形是平行四边形；（5)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

第5课时：三角形的中位线

1.连接三角形两边中点的线段叫做三角形中位线。

2.三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。已知三角形边的中点或中位线，就考虑用三角形的中位线定理来解题。

第6课时：矩形的性质

1.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。矩形是特殊的平行四边形。

2.矩形的性质：

（1)矩形具有平行四边形的所有性质；（2)矩形的四个角都是直角；（3)矩形的对角线相等；（4)矩形是轴对称图形，有2条对称轴，分别是经过对边中点的直线。

3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

第7课时：矩形的判定

1.矩形的判定方法：

（1)有一个角是直角的平行四边形是矩形；

（2)对角线相等的平行四边形是矩形；

（3)有三个角是直角的四边形是矩形。

第8课时：菱形的性质

1.有一组领边相等的平行四边形叫做菱形。

2.菱形的性质：

（1)菱形具有平行四边形的所有性质；（2)菱形的四条边都相等。（3)菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（4)菱形是轴对称图形，有2条对称轴，它的对角线所在的直线就是它的对称轴。

3.菱形的面积等于边长乘这条边上的高或对角线乘积的一半；

★方法技巧：菱形的四条边相等，菱形的对角线互相垂直。运用勾股定理求出菱形的边长，利用菱形的面积等于对角线乘积的一半求面积。

第9课时：菱形的判定

1.菱形的判定方法：

（1)有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形；

（2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形；

（3)四条边都相等的四边形是菱形。

★方法技巧：判断一个四边形是不是菱形，要先弄清楚是在四边形的基础上还是在平行四边形的基础上来判断，再看条件是否满足相应的判定方法。

第10课时：正方形的性质与判定

1.正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

2.正方形的性质：（1)正方形的四条边都相等；（2)正方形的四个角都是直角；（3)正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；（4)正方形既是

轴对称图形，又是中心对称图形，它有4条对称轴，其交点为对称中心。

★归纳总结：正方形既是矩形，又是菱形。它既有矩形的性质，又有菱形的性质。

3.正方形的判定方法：

（1)有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形；

（2)有一组邻边相等的矩形是正方形；

（3)有一个角是直角的菱形是正方形。

★方法技巧：（1)判定正方形时，需要先弄清楚是在什么四边形的基础上来判定。（2)如果已知四边形是矩形，要判定它是正方形，那么还需要证明它有一组邻边相等即可，或证明它的对角线互相垂直即可。（3)如果已知四边形是菱形，要判定它是正方形，那么还需要证明它有一个角是直角即可，或证明它的对角线相等。

第11课时：特殊平行四边形的性质与判定

1.矩形的性质与判定

（1)定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

★矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角，即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件。

（2)矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形的对边平行且相等；从角看，矩形的四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等。

（3)要判定一个四边形为矩形，先要弄清楚是在四边形的基础上来判定还是在平行四边形的基础上来判定。如果已知条件是四边形，可以直接证明它有三个角是直角，或先证明它是平行四边形，进而证明它是矩形；如果已知条件是平行四边形，只需要证明它有一个角是直角或对角线相等即可。

2.菱形的性质与判定

（1)定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

（2)菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，还具有独有的性质：四条边相等，对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角。

★菱形的面积有两种计算方法：一种是平行四边形的面积计算公司“底x高”，另一种是两条对角线乘积的一半。

（3)在四边形的基础上判定一个四边形为菱形，可以直接证明它的四条边相等；在平行四边形的基础上判定一个四边形为菱形，只需要证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直即可。

3.正方形的性质与判定

正方形既是矩形又是菱形，因此正方形具有矩形和菱形的所有性质。要判定一个四边形为正方形，可以先证明它是矩形，再证明它是菱形；也可以先证明它是菱形，再证明它是矩形。

★矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形。平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形；矩形、菱形、正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形。

【第19章】 一次函数

第1课时：变量与函数

1.在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量。

第2课时：函数的相关概念

1.一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。如果当x=a时y=b,那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。

2.用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法。这种式子叫做函数的解析式。

第3课时：函数的图象

1.一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的对应值分别作为点的横、纵坐标，那么在坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象。

2.描点法画函数图象的一般步骤：（1)列表；（2)描点；(3)连线。

3.函数的三种表示方法：解析式法；列表法；图象法。

第4课时：正比例函数

1.两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做成正比例关系。

2.一般地，形如 y=kx  (k是常数，k≠0)的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。

第5课时：正比例函数的图象与性质

1.正比例函数y=kx(k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线，称它为直线y=kx.

2.(1)当k>0时，直线y=kx经过第一、三象限，从左向右上升，即y随x的增大而增大；（2)当k<0时，直线y=kx经过第二、四限，从左向右下降，即y随着x的增大而减少。

第6课时：一次函数

1.一般地，形如（k,b是常数，k≠0)的函数，叫做一次函数。正比例函数是一种特殊的一次函数。但一次函数并不一定是正比例函数。

★对于一次函数的理解有两部分：（1)函数的一般形式；（2)比例系数k与b的条件（k,b是常数，k≠0) .

第6课时：一次函数的图象与性质

1.一次函数y=kx+b (k,b是常数，k≠0)的图象是一条直线，它与x轴，y轴的交点分别是和（0，b).

2.一次函数y=kx+b (k,b是常数，k≠0)的性质：

（1)当k>0,b>0时，直线y=kx+b经过第一、二、三象限，y随x的增大而增大；

（2)当k>0,b<0时，直线y=kx+b经过第一、三、四象限，y随x的增大而增大；

（3)当k<0,b>0时，直线y=kx+b经过第一、二、四象限，y随x的增大而减小；

（4)当k<0,b<0时，直线y=kx+b经过第二、三、四象限，y随x的增大而减小。

3.一次函数y=kx+b (k,b是常数，k≠0)的图象可以由直线y=kx(k≠0)平移｜b|个单位长度得到（当b>0时，向上平移b个单位长度；当b<0时，向下平移｜b|个单位长度）。

★注意：将一次函数上、下平移时，牢记“上加下减”。

第7课时：用待定系数法求一次函数的解析式

1.先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法叫做待定系数法。

2.用待定系数法求一次函数解析式的一般步骤：

（1)设一次函数的解析式为y=kx+b(k,b是常数，k≠0);

（2)将两组对应值或图象上两点的坐标分别代入设出的解析式中，得到一个二元一次方程组（以k和b为未知数）；

（3)解这个二元一次方程组，即可求出解析式中的未知系数k,b,从而得到函数的解析式。

第8课时：一次函数与方程、不等式

1.解一元一次方程ax+b=0(a≠0),可以转化为求当一次函数y=ax+b的函数值为0时相应自变量的值。

2.解一元一次不等式ax+b>0或ax+b<0(a≠0),相当于求当一次函数y=ax+b的函数值大于0或小于0时自变量x的取值范围。

3.由含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的每个二元一次方程组，都对应两个一次函数。从“数”的角度看，解方程组相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条相应直线交点的坐标。

【第20章】 数据的分析

第1课时：平均数

1.一般地，若n个数x₁,x₂,··,x_n,则这组数据的算术平均数。

2.一般地，若n个数x₁,x₂,···,x_n的权分别是w₁,w₂,···,w_n,则 ，叫做这n个数的加权平均数。

3.在求n个数的平均数时，如果x₁出现f₁次，x₂出现f₂次，···,x_k出现f_k次（这里f₁+f₂＋···+f_k=n),那么这n个数的平均数，也叫做x₁,x₂,…,x_k这k个数的加权平均数，其中f₁,f₂,···,f_k分别叫做x₁,x₂,···,x_k的权。

第2课时：用样本平均数估计总体平均数

1.在实际生活中，当所要考察的对象很多，或者对考察对象带有破坏性时，经常用样本的平均数来估计总体的平均数。

2.组中值的计算：数据分组后，一个小组的组中值是指这个小组的两个端点数的平均数。

3.根据频数分布图求加权平均数时，常用各组的组中值代表各组的实际数据，把各组的频数看作相应组中值的权。

第3课时：中位数和众数

1.将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，那么称处于中间位置的数为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，那么称中间两个数据的平均数为这组数据的中位数。

2.求中位数的步骤：

（1)将数据由小到大（或由大到小）排列．

（2)数清数据个数是奇数还是偶数，若数据个数是奇数，则取中间位置的数作为中位数；若数据个数为偶数，则取中间两个数据的平均数作为中位数。

3.一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数。当一组数据有较多的重复数据时，众数往往能更好地反映其集中趋势。

第4课时：平均数、中位数和众数的综合应用

1.平均数、中位数、众数都可以反映一组数据的集中趋势，它们各有自己的特点，能够从不同的角度提供信息。

2.平均数、中位数和众数的特点：

（1)平均数：反映了一组数据的平均值，常用来代替数据的总体平均水平。

（2)中位数：像一条分界线，将数据分成前半部分和后半部分，因此用来代表一组数据的中等水平。

（3)众数：反映了出现次数最多的数据，用来代替一组数据的多数水平。

第5课时：数据的波动程度

1.在衡量一组数据波动程度的量中，最重要的就是方差，方差越大，就说明这组数据的波动越大。

2.设有n个数据x₁,x₂,x₃,……,x_n,其平均数,则这组数据的方差。

★归纳：方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小。

样本取自总体，样本方差能在一定程度上反映总体方差，能对总体的情况作出一个决策，一般来说，样本容量越大，用样本方差对总体的方差估计就越精确。

3.利用统计知识做数据分析时的一般步骤：（1）收集数据 （2）整理数据 （3）描述数据 （4）分析数据 （5）撰写调查报告。