如何让小学生了解数学到底是什么

本文经授权转载自微信公众号：超级数学建模（ID：supermodeling）

热爱学习

无法自拔

最近，小天真的为她8岁表妹操碎了心。。。

自从上次回去给她形象生动地讲了三角函数的原理后，表妹变得超级热爱数学，甚至到了无法自拔的地步。。。

这位8岁表妹问题的“冰山一角”

小天感叹：问这么多奇怪的问题就算了，还要求用动图讲解？！

小天有点承受不住，无奈，只能继续投靠超模君。。。

小天：超模君，救救我。。。

我表妹又问我一些奇怪的问题了，她居然问椭圆为什么是“椭圆”。。。

超模君很真诚地回答：椭圆就是“被拉长的圆”。。。

小天：超模君，你这是在敷衍我吗。。。

超模君：别急，先听我讲完好吗？

图片来源：Zachary Abel’s Math Blog

我们先找一个圆柱体，然后斜着一刀切下去，就得到一个椭圆啦！（图中黑色加粗部分）。

接着，我们从斜面的上方和下方分别塞进一个球，它们与圆柱、截面均相切，然后，两个球与截面相切的点就是椭圆的两个焦点（即图中的F₁和F₂）。

这样，我们就把课本上椭圆的定义和“拉长圆”的直觉理解联系了起来。

小天：那如果换成在圆锥里切呢？

超模君：换成圆锥也同样成立，只不过两个球的大小不一样而已。

图片来源：Zachary Abel’s Math Blog

不过当然，圆锥的截面变化就更多了。。

图片来源：mathgifs

就像上图显示的那样，随着角度变化，在圆锥上可以截出圆、抛物线、双曲线、两条相交的直线、两条重合的直接，甚至缩成一个点。。。

因此，椭圆、抛物线和双曲线都被称为圆锥曲线。

小天：哦，原来圆锥曲线是这样得来的。。

超模君：关于椭圆的光学性质你知道吗？很有趣的哦！

小天：光学性质？什么呀？

超模君：继续看下面的动图：

图片来源：MathGifs

就像你看到的那样：假如我们从椭圆的其中一个焦点发出光线，你会发现，经过椭圆的反射，最终光线都会汇集到椭圆的另一个焦点上。（当然，把光换成声波、小球或是别的什么东西也是一样的。）

在图中我们还可以看出：这些小球同时以同样的速度向不同的方向出发，又同时汇集到另一个焦点。这说明它们走过的路程是一样的。

为什么呢？你再回头想想椭圆的定义就应该明白了。

类似的，双曲线、抛物线也具有其独特的光学性质。

从双曲线的一个焦点处发出的光线，经过双曲线的反射后，看起来会像是从双曲线的另一个焦点发出来的一样。再比如说抛物线，在它的一个焦点处发出的光线经反射后会变成平行线：

图片来源：MathGifs

还有，把抛物线绕对称轴旋转一圈，可以得到一个抛物面。

抛物面也有同样的光学性质，利用这个性质，我们可以把平行的光线聚集到一点，或者把从一点发出的光线变成平行光，实际应用比如望远镜、天线、灯光设备等，奥运的圣火也是通过抛物面汇聚的太阳光来点燃的：

希腊演员Eleni Menegaki点燃青年奥运会圣火。

图片来源：Wiki Commons

小天：我表妹还问我有什么比较直观有趣的方法推导球的体积公式。。。

超模君：你还记得课本上是怎么推导球的体积公式的吗？

小天：额……百度一下我就可以记起来了吧。。。

超模君：其实推导球的体积公式用到了祖暅（gèng）原理。。。

祖暅原理，又名等幂等积定理、卡瓦列里原理，是指夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。

请看下面动图：

图片来源：Hyrodium’s Graphical MathLand

由上图可以看出，我们从底面半径为r、高为2r的圆柱体挖去两个高为r的圆锥，所得到的剩余部分与半径为r的球体进行逐层比较，你会发现二者在每个高度上的截面积都是相等的。

就这样，球体的体积等是圆柱与两个圆锥的体积之差：

小天：这个不就是相当于高等数学中的二重积分能够通过逐次积分来计算吗？

超模君：呵，你终于记得自己是学过高数的了……

确实，这可以看成是微积分的一个“前奏”。

在17世纪上半叶，意大利数学家卡瓦列里提出了这条原理，并用它计算了一系列几何体的体积，而在17世纪下半叶，牛顿和莱布尼兹发明了微积分。。。

其实，早在公元5世纪，祖暅（祖冲之的儿子）在求球的体积公式的过程中就提出了这条原理，比卡瓦列里早了一千多年。但他还不是第一个算出球体积公式的人。

第一个算出球体积公式的人是古希腊的阿基米德，在公元前3世纪，他用一种奇妙的力学方法，算出半径为r的球体积是半径为r、高为2r圆柱体积的2/3，并用穷竭法给出了证明。

事实上，阿基米德的方法已经有了微积分思想的雏形，不过并没有用上祖暅原理。

然而，阿基米德的研究成果并没有传到中国。早期的中国数学家也研究过球的体积，但没能得到正确的结果。

直到南北朝时期，祖暅终于提出了这条重要的原理：“幂势既同，则积不容异”。

另外，祖冲之与祖暅在这条原理的基础上，还得到了“牟合方盖”的体积公式。

小天：牟合方盖？又是什么“神术”啊？

超模君：继续看动图

如上图，把两根半径相等的圆柱垂直地拼在一起，它们的公共部分就是“牟合方盖”了。

古人给几何体起的名字，确实有某种“神术”的感觉。。。

小天：我表妹好喜欢动图啊，请问还有其他有趣的数学动图么？

超模君：这个嘛，当然有。比如

圆的面积等于πr²

余弦定理的无字证明

黎曼和(Riemann sum)约等于其曲线下的面积

圆规和正方形的爱恨纠缠

最后，放一张数学家很会玩之胖子超人的诞生。

小天：哈哈，最后这个有点像大白啊！

本文作者：超模君，超级数学建模公众号主编，数学与交叉科学教育自媒体博主。爱分享有用的数学建模知识，爱深挖有趣的交叉科学人物故事，爱为靠谱的现代教育产品打call。著有《芥子须弥·大科学家的小故事》，由清华大学出版社出版。

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