一课研究之小学数学拓展课教什么？怎么教？
大家好，我是永嘉县少年艺术学校的李明哲，是朱乐平名师工作站“一课研究”第一大组第3小组的学员。非常高兴再次与您相遇在“一课研究”微信平台！
1.听一听：拓展课对学生的改变
2.读一读：拓展课之《怎样做最大》的实践与反思
3.荐一荐：《小学数学拓展课：教什么，怎么教》（陈加仓老师著）
３
４
拓展教学空间 开发学生创新潜能
—–《怎样做最大》实践与反思
陈加仓
温州大学城附属学校校长，教授级中学高级教师，浙江省著名特级教师，浙江省中小学骨干教师高访问学者，省、市名师工作室领衔人，温州市首届”十大青年工匠“，专著《小学数学拓展课：教什么，怎么教》、《名师教你学数学》等
【课前思考】
本课主要让学生在探究中求发展，在发展中进行创新，旨在重视教材的拓展知识的教学，拓展教学空间,开发学生创新潜能，寻找适合孩子发展的教育。力求体现让学生在“猜想－验证－发现”中展开学习，在一次次猜想验证中，发现规律，掌握知识，培养能力。在解决问题的过程中，提倡方法多样化,不追求同样的思维层次,优选最佳方法，注重个性差异，让孩子获得不同程度的成功体验。考虑到繁杂的计算给学习带来影响，因此，把计算器引进课堂，让宝贵的时间花在探索寻找规律处，提高课堂教学效率。努力创设适合学生发展的教育，激发学生的求知欲望，点然创造的火花，把课堂变成人人参与，个个思考的空间。
【教学目标】
1.初步感受相关的形体的变化规律，了解相关的数量关系，发展学生的空间观念。
2.经历猜想、验证等过程体验数学研究的方法，初步感受数学在研究中发展,激发学习兴趣。
3.教育学生树立实践出真知的观点，发展创新思维、合作探究、动手实践、验证发现的能力。
【教学实录】
一、创设情境、提出问题
1.谈话引入:温州有“数学家摇篮”之称，温州曾经出现了许多著名的数学家。如复旦大学教授苏步青，苏教授小时候就对数学产生浓厚的兴趣。这节课我们讨论苏爷爷小时候做过的一道有趣的数学题。
2.揭示问题：怎样把一块正方形铁皮做成一个无盖的长方体铁盒？
二、提出方案、比较分析
1.学生提出方案。
生1：先把这块正方形铁皮的四个角各剪去一个小正方形铁皮，然后做成一个无盖的长方体铁盒(如图1)。
生2：把正方形铁皮一边的两个角各剪去一个小正方形铁皮，焊接到对边去，做成一个无盖的长方体铁盒(如图2)。
2.哪种方法做成的无盖长方体铁盒的体积大，为什么？
生：第二种方法做成的无盖长方体铁盒的体积大,因为材料的使用率达100%。
三、合作探究、发现规律
（一）研究做法一
1.探讨能做多少种不同的长方体铁盒？
师:如果正方形铁皮的边长是18厘米，能做几种不同的无盖长方体铁盒？
生1：无数种，因为剪去的小正方形的边长可以是整数也可以是小数。
师：如果剪去的小正方形边长是整厘米数呢？
生2：只有8种，也就是小正方形的边长是1、2、3、4、5、6、7、8厘米。
师:边长可能是9吗?
生：不可能，正方形的边长只有18，正好剪完了，就做不成长方体了。
2.猜想：哪个无盖长方体铁盒的体积最大呢？
生1：剪去的小正方形边长是1厘米，做成的无盖长方体体积最大。
师：你凭什么这样认为？
生：用的材料就越多，做成的长方体体积就会越大。
生2：我认为剪去的小正方形边长是5厘米，做成的无盖长方体体积最大；因为这时长方体的长、宽、高比较接近。
生3：也可能是4厘米。
生4：剪去的小正方形边长是6厘米，做成一个无盖立方体，体积会最大。
这时学生各抒己见，观点各不相同。
师：到底哪个无盖长方体的体积最大呢？
生：让我们先算一算。
3.验证。
（1）分组计算，填写表格
(2)师：从上表中你发现了哪个无盖长方体的体积最大？
生：当剪去的小正方形的边长是3厘米时，做成的无盖的长方体的体积最大。
结合刚才猜想，教师问：这时你有什么感想？
生1：我们解题，不能只靠猜想，还要认真计算。
生2：说明了猜想不一定正确。
师：说明了我们研究数学，不但要大胆猜想，而且还要严格验证。
师：从上表中你还发现了什么规律？
生1：剪去的小正方形的边长越来越长。
生2：体积从小到大，再由大到小。
师：你能用手势表示这种变化的趋势吗？
请学生上台演示后，再出示图像(如图3)：
生:老师您画错了，左边的曲线应比右边低。
大家一看果然如此，我立即称赞了这位孩子的大胆和聪明，这时掌声热烈地响起。
师：长方体的形状是怎样变化的呢？
生：底面越来越小，高越来越大。(课件演示)
（3）在小正方形的边长2.5cm与3.5cm之间细化：
师：刚才研究剪去的小正方形边长是整厘米数，如果剪去的小正方形边长是小数呢？能做无数种不同的无盖长方体。在这些无盖长方体中体积还是432立方厘米最大吗？
生：不是。
生：不一定，有可能还是最大，也有可能不是。(大部分学生这样认为)
生：老师，让我们再继续研究。
师：怎么研究？
生：剪去的小正方形边长取小数进行研究，如2.9或3.1
生：还可以取2.8或3.2…..
生：我们发现体积还是432立方厘米最大的。
3．举例研究。
设问:如果正方形铁皮的边长是24、30、12、36厘米,用同样的方法也做一个无盖的长方体铁盒，剪去的小正方形边长可能是几呢？
(1)学生猜想。
师：当正方形铁皮的边长是24厘米时呢？
生1：剪去的小正方形边长可能4厘米。
生2：剪去的小正方形边长可能8厘米。
生3：我认为剪去的小正方形边长还是3厘米。
师：当正方形铁皮的边长是30厘米时呢？
生1：剪去的小正方形边长可能5厘米。
生2：我认为剪去的小正方形边长还是3厘米。
……
(2)分组研究。
(3)汇报交流：
生1：正方形铁皮的边长是24厘米，剪去的小正方形边长是4厘米时，做成的无盖的长方体的体积最大。
生2：小组研究的结果也是这样。
生3：正方形铁皮的边长是30厘米，剪去的小正方形边长是5厘米时，做成的无盖的长方体的体积最大。
生4：正方形铁皮的边长是12厘米，剪去的小正方形边长是2厘米时，做成的无盖的长方体的体积最大。
……
(4)发现规律。
师：观察上面的数据，你发现了什么？
生：剪去的小正方形边长是原来大正方形边长的 六分之一。
(二)研究做法二
1．探讨能做多少种不同的长方体铁盒？
2．计算体积。13.5×9×4.5=546.75（立方厘米）
(三)再次比较两种做法的体积的大小。
四、回顾总结、拓展延伸
1．课外探索(如图4)：它的体积会更大吗？
课件展示，学生发出了赞叹声。这时问：它的体积会更大吗？
生1：它的体积会最大，因为材料使用率达100%，而且又是立方体。
生2：不对。刚才立方体的体积也没有最大。
全班学生又陷入沉思……
2．回想一下，你们是怎样获得这些成果的？
生：我们是通过猜想-验证-发现的方法，获得研究成果的
……
师:同学们像苏爷爷小时候那样，认真地钻研数学，相信你们能成为未来的数学家。
【课后体会】
本课教学紧扣长（立）方体的体积计算，围绕“怎样做最大”层层展开，步步深入。让学生在“山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村”中感悟数学无穷的魅力，激发探究、创新的热情。下列几点感触颇深：
1．面向全体、因材施教，创设适合学生发展的教育。
《国家数学课程标准》指出：由于学生所处的文化环境、家庭背景和自身的思维方式不同，学生的数学学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。因此，孩子不是一张无知的“白纸”，每个孩子都存在差异。这节课既有面向全体的“基本知识和技能的练习巩固”，也渗透了尊重个体的理念，让学生参与开放式的猜想、思考、求证，提倡方法或答案的多样化,获得不同程度的成功体验等。做到双基教学与创新教育的有机结合。这些都体现了新课标面向全体，因材施教的教育理念。
2．重视教材的拓展知识教学，拓展教学的空间。本课是求体积知识的延伸，也涉及到中学的变量知识，但孩子各有差异的猜想，求证的过程的展现，让一个较复杂的数学问题变得简单。虽仅仅用最初等的数学知识，但闪现出更高层次的数学思想方法。学生说：“数学课不再是书本的知识，引进了许多新鲜的内容”。“老师引导我们自己去实践、发现、总结，我们很有成就感。这也为教学和学科研究提供了广阔的空间，更多体现了校本课程。
3．提出富有挑战性的问题，创设开放的问题情境。
教育家苏霍姆林斯基说：儿童在遇到问题时，总爱把自己当成探索者、研究者、发现者。而富有挑战性的开放的问题情境，能使这些角色得到充分的发挥，促进他们创造性的解决问题。我引导学生在“设疑－猜想－验证－发现”中展开学习，在一次次猜想验证中，发现规律，掌握知识，培养能力。
4．创设融洽活跃的课堂氛围，激发学习的兴趣。 在本课中我与孩子们一起研究，建立起平等、和谐、民主的伙伴关系。因此课堂上学生发言踊跃，课堂氛围热烈。我经常用鼓励的语气问：“还有其它方法吗？老师最喜欢有不同想法的孩子。”当公布正确答案后，我又问：“有没有同学算错呀？能大胆告诉大家吗？”一位男同学站起来说自己最后一题算错了，可不知道错在哪里？于是我让同学帮他一起算，发现了错误所在。当学生发现规律时，我又兴奋地说：“多精彩地发现呀!请大家给自己来点掌声。”当出现曲线图时，一学生说:“老师您画错了，左边的曲线应比右边低。”大家一看果然如此，这时热烈的掌声响起。难怪孩子们说：即使我们发言错了，老师也不会批评我们。“课上，老师没限制，很自由开放，时间太短了。”……
当然这样的教学，对教师的素质提出了更高的要求和挑战。要求教师平时要多钻研、多思考、多实践、做教学的有心人。
5
编辑推荐：
本书是著名数学特级教师陈加仓老师15年来数学拓展课教学研究和教学经验的总结，既有理论阐述，又有丰富的案例。理论部分着眼于学生数学核心素养的发展和教师专业水平的提高，阐述了数学拓展课的研究价值、研究目的和实施策略；案例部分从“适用年级”“课前思考”“教学目标”“教学实录”“课后体会”等几个方面为教师提供了“拿来就能用”的范本。
