张景中 | 感受小学数学思想的力量–写给小学数学教师们

感受小学数学思想的力量

     比如说加法，2和3加起来等于 5，这个答案“5”是唯一确定的，写成数学式子就是2+3=5;如果把左端的3变成4，右端的5就变成6，把左端的2变成7，右端的5就变成10。右端的数被左端的数所唯一确定。在数学里，数量之间的确定性关系叫作函数关系。加法实际上是一个函数，由两个数确定一个数，是个二元函数。如果把式子里的第一个数“2”固定了，右端的和就被另一个数确定，就成了一元函数。

      当然，不用给小学生讲函数概念。但教师有了函数思想，在教学过程中注意渗透变量和函数的思想，潜移默化，对学生数学素质的发展就有好处。

      比如学乘法，九九表总是要背的。“三七二十一”的下一句是“四七二十八”，如果背了上句忘了下句，可以想想21+7=28，就想起来了。这样用理解帮助记忆，用加法帮助乘法，实质上包含了变量和函数的思想；3变成4，对应的21就变成了28。这里不是把3和4看成孤立的两个数，而是看成一个变量先后取到的两个值。想法虽然简单，小学生往往想不到，要靠教师指点。挖掘九九表里的规律，把枯燥的死记硬背变成有趣的思考，不仅是教给学生学习方法，也是在渗透变量和函数的数学思想。

      做除法要试商。80 除以13，商是多少?试商 5余 15，不够;试商 6余 2，可以了。这里可以把余数看成是试商数的函数。试商的过程，就是调整函数的自变量，使函数值满足一定条件的过程。

       提到数形结合，往往觉得是解析几何的事情。其实，数和形的联系，几乎处处都有。

       在数学当中，几何具有非常重要的地位。几乎所有重要的数学概念，最初都是从几何中来的。所以有人说，几何是数学思想的摇篮。几何不仅是直观的图形，而且还需要推理。推理就要使用语言，所以几何的语言很重要。我们在教学或者编写教科书的时候，往往是学数的时候就讲数，到了学几何的时候就讲几何，缺少把两者联系起来的意识。

       例如，有一套教科书开始就让学生玩积木，也就是认识立体图形。立体图形比平面图元更贴近生活，比数更贴近生活，是更基本的东西，这是教科书的优点。但是，如果在玩积本时不仅让学生注意一块积木是方的、圆的、尖的，还让他们数一数某块积木有几个尖(顶点)、几个棱、几个面，就在学生头脑中播下形与数有联系的种子。

       在认识数的时候，要举很多的例子，如一个苹果、一只小白兔等。我就想，在举例的时候能不能照顾到几何?比如学生在学习“1”的时候，就要学生用“1”来造句，书上可不可以有一些关于几何的句子?如“1个圆有!个圆心”  “1条线段有1个中点”“1个正方形1个中心”等。有的教师会说，这样不行，学生不能理解。我想，可以画图帮助学生理解学生虽然不知道这些概念准确的含义，但看看图就有一个直观的、初始的印象。孩子学语言一开始不是通过理解，而是通过模仿开始的，如果在学数的时候，能举一些几何上的例子这对他将来学习几何肯定会有帮助。同样，在学习“2”的时候，我们可以教学生说:”1条线段有两个端点。”不需要让学生知道什么是线段，只要画一条线段，指出两头是端点。到后来学几何知识时，回头一想，他会非常亲切，因为他早已经会说了。在学“3”的时候可以面一个三角形，让学生说“三角形有3条边、3个顶点”;学“4”的时候，可以画一个正方形，让学生说“正方形有4条边、4个顶点”;学“5”的时候，可以画个五角星;认识“10”的时候，除了10根手指，不妨画一个完全五边形让学生数一数有几条线段;学到 100 以内的数，就可以告诉学生正方形的角是 90°，等等。小孩子记忆力好，早点记一些东西，以后再慢慢理解。在中国古代的私塾里，学生入学后往往先让他们背几个月，甚至一年，然后才开讲。当然这种教育方式不能作为模式，但是也并非没有可取之处。学生已经会背了，再讲的时候，他印象就非常深刻了。

     小学里主要学计算，不讲推理。但是，计算和推理是相通的。

     中国古代数学主要是找寻解决各类问题的计算方法，不像古希腊讲究推理论证。但是，计算要有方法，这方法里就体现了推理，即寓理于算的思想。

      数学活动中的画图和推理，归根结底都是计算。推理是抽象的计算，计算是具体的推理，图形是推理和计算直观的模型。我们可以举些例子，让学生慢慢体会到所谓推理。本来是计算;到了熟能生巧的程度，计算过程可以省略了，还可以得到同样的结果，就成了推理了。有的人认为几何推理很难，学几何一定要先学实验几何。其实，实验和推理不一定要截然分开。早期学实验几何阶段可以推理，后期学会推理时也需要实验。所谓实验，无非是观察和计算。“对顶角相等”这样简单的几何命题，实际上就是通过一个算式证出来的，这里的推理证明就是计算。

      要把计算提升为推理，就要用一般的文字代替特殊的数字，再用字母代替文字。不要怕让学生早点接触字母运算。讲到“长方形的面积=长x宽”的时候，不妨告诉学生，这个公式可以用字母表示成 M=CxK。这里用了面积、长、宽的汉语拼音，学生很容易理解。再说明用别的字母也可以。为什么说这样能把计算提升为推理呢?看一个简单的例子。设一个三角形a边上的高为h，而b边上的高为g，根据三角形面积公式，就知道axh=bxg;如果a=6，则h=g。这就推出了一条规律:如果三角形的两条边相等，则此两边上的高也相等。也就是证明了一条定理。这种证明方法比利用全等三角形简单明了。

      这里，既有数形结合，又有寓理于算，还贯穿着变量和函数的思想。有些教师不是说缺少好的探索问题吗?这就是非常有意义的探索问题，它给学生留下很大的思考空间，会使生长远获益。

      陈省身先生说过，数学可以分为好的数学与不好的数学。好的数学指的是能发展的、能越来越深人、能被广泛应用、互相联系的数学;不好的数学是一些比较孤立的内容。他举例说，方程就是好的数学。

       函数的思想、数形结合的思想、寓理于算的思想，都属于好的数学。这些思想是可以早期渗透的。早期渗透是引而不发，是通过具体问题来体现这些思想。比如引进了 sinA，用这个概念解决几个看来很困难的问题，学生会惊奇，为何能如此简捷地解决问题?学下去，过三年五年，他就体会到，是数学思想的力量。