初中数学题型汇总15——利用绝对值、乘方的性质求值（八）

【典型例题15】

对于任意有理数x、y，试证明:|x|＋|y|≥|x＋y|，并利用这一结论求|x-２|＋|x＋４|的最小值．

【答案解析】

解题思路：

①证明：分x、y同号、x、y至少一个为0和x、y异号进行讨论证明；②求最小值：注意|x-2|=|2-x|等量代换是本题的关键,再利用已经证明的结论|x|＋|y|≥|x＋y|，将所求代数式进行化简求值.

解：

若x、y同号或至少有一个为0，则有|x|＋|y|＝|x＋y|；x、y异号，则有|x|＋|y|＞|x＋y|．所以对于任意有理数x、y，|x|＋|y|≥|x＋y|总成立．

根据上述结论，∵|x-2|=|2-x|，

∴|x－2|＋|x＋4|＝|2－x|＋|x＋4|≥|2－x＋x＋4|＝6；

显然当x＝0或 x＝２时，|x－2|＋|x＋4|＝6．

综上所述，代数式|x-2|＋|x＋4|的最小值是6（事实上，当x取－４到２之间的任意数时，代数式的值都为６．

规律总结：

复杂题目注意运用等量代换的数学思想方法，如本题中用|2-x|代替|x-2|使得题目简单化.本题同时学习到整体思想，如：由|x|＋|y|＝|x＋y|得出|2-x|＋|x＋4|≥|2-x＋x＋4|.