数模教育10 中学数学教学与数学模型
中学数学的教与学是数学模型的教与学
中学数学内容包括初等代数、初等几何(包括平面几何、立体几何、平面解析几何)、平面三角、初等微积分、概率统计初步、简易逻辑与计算机初步等, 它们都是一些方法型或结构 型数学模型. 其中有的模型又包括一些子模型, 如二次方程这个模型就是初等代数这个结构 型模型的一个子模型. 上述这些数学模型, 采用适当的教法以及逻辑的处理后有机地结合在 一起, 构成中学数学知识系统. 整个中学数学也可视为一个大的数学模型,基于这样的认识, 我们可以认为中学数学的教与学实际上就是数学模型的教与学.
中学数学教与学不应当只是单纯地老师向学生讲授和学生接受这些数学模型, 而忽视对其原型的分析和抽象, 忽视运用其理论、方法解决实际问题. 因为这不能达到培养学生具有一定数学能力的目的, 特别是数学应用能力的目的. 这样的教与学不仅脱离实际, 而且难以达到使学生对初等数学内容有真正的理解, 从而只能使学生的学习处于被动地位. 这种只重视数学模型本身的教学是难以培养学生“会学数学” 的.
数学模型方法指导下的数学教与学, 要求尽可能地创设或恢复数学创造的全过程, 也就是说,教与学要从现实原型出发, 充分运用观察、实验、比较、分析、综合、归纳、抽象、概括等基本的数学思维方法, 由此获得数学概念、基本关系, 通过推演获得公式、公理, 获得相应的 数学模型, 总结出解决问题的方法, 运用所获得的知识、方法等模型解决实际问题. 这样的知识是生动的、完整的, 因而是易于理解和记忆的. 从教与学的实际出发, 有计划有目的地不断 展示这个过程,通过实际问题或应用题反复训练,学生就会把这个过程深刻地印在头脑中, 使他们形成数学所要遵循的一个重要的认识途径, 形成习惯和要求, 无论是教师讲授, 还是学生自学, 学生总是善于按这样的过程去理解知识, 我们说, 这就是学生会学数学的一个非常重要的标志.
用数学模型的观点认识与处理数学教与学, 应探讨如下几个方面的问题:
(1) 数学模型观点下的数学教学内容, 应当有它的现实原型. 教师应力求给出(有时, 需要设计出）一个恰当的典型的原型展现给学生. 教师引导学生主动观察、分析、概括、抽象, 最终得到这一数学模型. 例如, 可由下图中两个正方形面积问题作为原型来推导
(2) 由于很多数学概念是经过多次抽象才获得的, 所以一个数学模型的现实原型可能是一些“较为具体些” 的数学概念构成的例子. 例如, 一次函数
这个模型的 现实原型可以认为是函数
等. 但这些较为具体的一次函数同生活中的实例相比, 显然还是比较抽象的. 这就是说, 教师在构造模型的原型时, 要根据数学对象抽象的直接来源, 也即它是从什么对象直接抽象一次而得到的, 那么那类对象中的任何一个都可选为原型.
（3）一个数学模型总有它的适用范围, 即它可以用来解决您样的一类问题. 这包括两个方面的考虑: 一方面, 以前所获得的数学模型可以解决现在的一些什么问题;另一方面, 当前 所获得的数学模型可以进一步用来解决哪些问题.
(4) 数学模型是具有发展性的, 因而不能把所获得的数学模型看成是完善了的、固定的不可变化的东西. 它是在适当的时候, 可进行加工和改进的. 例如, 数的概念的遂步扩张, 代 数式扩张到解析式,整式方程扩充到有理方程等.
(5) 中学数学是个大模型, 其中包括许多较小的模型, 即子模型或模型块, 每个模型块又包括若干更小的模型块. 这些模型块互相紧密地联系起来,构成有机的整体, 并相互作用. 实践告诉我们, 很多知识的教与学并不是一下子获得完整的模型, 而是把一个模型分成 若干块,按模型块进行教与学. 这些块有的体现由浅人深, 逐步推广; 有的块分成各种情况, 分类讨论 (如横向分块、纵向分块), 此时, 既要明确块的内容, 又要注意块之间的联系, 以隹 形成完整的知识系统.
(6) 注重应用题的教与学, 解决一道应用题, 可以看作是获得或应用数学模型的极好训 练.
模型教具教学与逆数学模型法
模型教具教学也称为积极教学法. 这种教学法以教育心理学作为理论依据进行教学. 教育心理学要求学生积极地完成对数学概念的理解不是由纯逻辑推理得到, 而是在学生的思维过程中形成. 数学教具实际上是为数学概念、数学内容构造一个数学原型, 可以认为这个数学原型是形成该数学知识的客观实体之一. 因此, 数学模型教具与数学模型是不同的两个概念,一般地认为模型教具是为了说明、解释某个数学内容而人为地构造出的模型. 按其获得的过程来看, 构造模型教具的过程恰恰与构造模型的过程相反, 并且与构造模型的目的也不一致. 此种方法常称其为逆数学模型法. 积极教学法是逆数学模型法的一种.
综上所述, 中学数学的教与学不仅是数学模型的教与学, 而且在教与学中应运用逆数学模型法, 例如,近似地画出应用题的草图,画出函数的图像, 给出某个解析式的几何解释等以极大地提高教学质量.
