收藏！小学数学应用题精讲宝典，学会大题不丢分（复习可用）
应用题类型：
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1 .总量题
【关系式】 1份数量（平均量）×份数＝总量
总量÷1份数量（平均量）＝份数
总量÷份数＝每份数量（平均量）
【解题思路】 先求出总数量，再根据题意得出所求的数量。
例1 工厂原来做一个桌子用木料3米，改进技术后，每个桌子用木料2.6米。原来做832个桌子的木料，现在可以做多少个桌子？
解 （1）这批木料总共有多少米？3×832＝2496（米）
（2）现在可以做多少桌子？2496÷2.6＝960（个）
列成综合算式 3×832÷2.6＝960（个）
答：现在可以做960个桌子。
例2 小明每天读24页书，13天读完了一本书。小亮每天读26页书，几天可以读完整本书？
解 （1）整本书总共多少页？24×13＝312（页）
（2）小亮几天可以读完整本书？312÷26＝12（天）
列成综合算式 24×13÷26＝12（天）
答：小亮12天可以读完整本书。
2. 和差题
【题型】 已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少。
【关系式】 大数＝（和＋差）÷ 2
小数＝（和－差）÷ 2
例1 红蓝两辆车共有乘客107人，红车比蓝车多21人，求两辆车各有多少人？
解 红车人数＝（107＋21）÷2＝64（人）
蓝车人数＝（107－21）÷2＝43（人）
答：红车有64人，蓝车有43人。
例2 学校操场是长方形，长宽之和为180米，长比宽多40米，求操场的总面积。
解：长＝（180＋40）÷2＝110（米）
宽＝（180－40）÷2＝70（米）
长方形的面积 ＝110×70＝7700（平方米）
答：操场的总面积为7700平方米。
3.和倍题
【题型】 已知两个数的和，大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），求两个数分别是多少。
【关系式】 总和 ÷（倍数＋1）＝较小的数
总和 － 较小的数 ＝ 较大的数
较小的数 ×倍数 ＝ 较大的数
【解题思路】 简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。
例1 花园里有月季花和樱花共96朵，樱花数量是月季花的2倍，求月季花、樱花各多少朵？
解 （1）月季花有多少朵？96÷（2＋1）＝32（朵）
（2）樱花有多少朵？32×2＝64（朵）
答：月季花有32朵，樱花有64朵。
例2 角门站有52辆公交车，建设站有32辆公交车，每天有28辆车从角门站开往建设站，有24辆车从建设站开往角门站，几天后建设站的公交车是角门站的2倍？
解：每天从角门站开往建设站28辆，从建设站开往角门站24辆，折算下来等于每天从角门站开往建设站（28－24）辆。几天以后角门站的车辆数当作1倍量，这时建设站的车辆数就是2倍量，两站的车辆总数（52＋32）就相当于（2＋1）倍，
那么，几天以后角门站的车辆数减少为
（52＋32）÷（2＋1）＝28（辆）
所求天数为 （52－28）÷（28－24）＝6（天）
答：6天以后建设站车辆数是角门站的2倍。
4. 差倍题
【题型】 已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少。
【关系式】 两个数的差÷（几倍－1）＝较小的数
较小的数×几倍＝较大的数
【解题思路】 简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。
例1 花园里樱花的朵数是月季花的3倍，而且月季花比樱花多24棵。求樱花、月季花各多少朵？
解 （1）樱花有多少朵？24÷（3－1）＝12（朵）
（2）月季花有多少朵？12×3＝36（朵）
答：花园里樱花是12朵，月季花是36朵。
例2 爸爸比小明大30岁，今年，爸爸的年龄正好是小明年龄的4倍，求父子二人今年各是多少岁？
解 （1）小明年龄＝30÷（4－1）＝10（岁）
（2）爸爸年龄＝10×4＝40（岁）
答：父子二人今年的年龄分别是40岁和10岁。
例3 超市里有324袋巧克力和588袋棒棒糖，如果每天卖出巧克力和棒棒糖各24袋，问几天后剩下的棒棒糖是巧克力的3倍？
解：由于每天卖出的巧克力和棒棒糖数量相等，所以剩下的数量差等于原来的数量差（588－324）。把几天后剩下的巧克力看作1倍量，则几天后剩下的棒棒糖就是3倍量，那么，（588－324）就相当于（3－1）倍，因此
剩下的巧克力数量＝（588－324）÷（3－1）＝132（袋）
卖出的巧克力数量＝324－132＝192（袋）
售卖的天数＝192÷24＝8（天）
答：8天以后剩下的棒棒糖是巧克力的3倍。
5. 倍比题
【题型】 有两个已知的数，其中一个数是另一个数的几倍，解题时需要先求出这个倍数，再用倍比的方法算出要求的数。
【关系式】 总量÷一个数量＝倍数
另一个数量×倍数＝另一总量
【解题思路】 先求出倍数，再用倍比关系求出要求的数。
例1 光明小学学生进行采摘实践活动，400名学生共摘了500个苹果，照这样计算，全县52000名学生能摘多少苹果？
解 （1）52000名是400名的多少倍？52000÷400＝130（倍）
（2）能摘多少苹果？500×130＝65000（个）
列成综合算式 500×（52000÷400）＝65000（个）
答：全县52000名学生能摘65000个苹果。
例2 涞水县今年草莓大丰收，南郭下村一户人家3亩草莓收入12122元，照这样计算，全县15000亩草莓园共收入多少元？
解 （1）15000亩是3亩的几倍？15000÷3＝5000（倍）
（2）15000亩收入多少元？12122×5000＝60610000（元）
答：全县15000亩果园共收入60610000元。
6. 相遇题
【含义】 两个运动的物体（车、人、船等），同时从两地出发相向而行，在途中相遇。
【关系式】 相遇时间＝总路程÷（甲速＋乙速）
总路程＝（甲速＋乙速）×相遇时间
例1 天津到南京的水路长441千米，从两个港口同时各开出一艘轮船，相对而行，从天津开出的船每小时行28千米，从南京开出的船每小时行21千米，经过几小时两船相遇？
解：441÷（28＋21）＝9（小时）
答：经过9小时两船相遇。
例2 小李和小刘在周长为400米的环形跑道上跑步，小李每秒钟跑5米，小刘每秒钟跑3米，他们从同一地点同时出发，反向而跑，那么，二人从出发到第二次相遇需多长时间？
解：“第二次相遇”可以理解为二人跑了两圈。
因此总路程为400×2
相遇时间＝（400×2）÷（5＋3）＝100（秒）
答：二人从出发到第二次相遇需100秒时间。
7. 追及题
【含义】 两个运动物体在不同地点同时出发（或在同一地点但不同时间出发，或在不同地点又不同时间出发）作同向运动，后面的行进速度比前面的快些，在一定时间之内，后面的追上前面的物体。
【关系式】 追及时间＝追及路程÷（快速－慢速）
追及路程＝（快速－慢速）×追及时间
例1 顺丰快递速运车每天走150千米，普通快递车每天走75千米，普通快递车先走2天，速运车几天能追上普通快递车？
解 （1）普通快递车先走2天能走多少千米？75×2＝150（千米）
（2）速运车几天追上普通快递车？150÷（150－75）＝2（天）
列成综合算式 75×10÷（100－75）＝750÷25＝30（天）
答：速运车2天能追上普通快递车。
例2 一艘货船从中国开往乙站，每小时行48千米；一辆货车同时从乙站开往甲站，每小时行40千米，两车在距两站中点16千米处相遇，求甲乙两站的距离。
解：这道题可以由相遇问题转化为追及问题来解决。从题中可知客车落后于货车（16×2）千米，客车追上货车的时间就是前面所说的相遇时间，
这个时间为 16×2÷（48－40）＝4（小时）
所以两站间的距离为 （48＋40）×4＝352（千米）
列成综合算式 （48＋40）×［16×2÷（48－40）］＝88×4＝352（千米）
答：甲乙两站的距离是352千米。
8. 植树题
【题型】 按相等的距离植树，在距离、棵距、棵数这三个量之间，已知其中两个量，求第三个量。
【公式】 线形植树 棵数＝距离÷棵距＋1
环形植树 棵数＝距离÷棵距
方形植树 棵数＝距离÷棵距－4
三角形植树 棵数＝距离÷棵距－3
面积植树 棵数＝面积÷（棵距×行距）
【解题思路】 先弄清楚植树问题的类型，然后可以利用公式。
例1 一条河堤126米，每隔2米栽一棵柳树，头尾都栽，一共要栽多少棵柳树？
解 126÷2＋1＝63＋1＝64（棵）
答：一共要栽64棵垂柳。
例2 给一个面积为72平方米的房间铺设地板砖，所用地板砖的长和宽分别是60厘米和40厘米，问至少需要多少块地板砖？
解 72÷（0.6×0.4）＝72÷0.24＝300（块）
答：至少需要300块地板砖。
9. 年龄题
【题型】两人的年龄差不变，但两人年龄之间的倍数关系随着年龄的增长而变化。
【公式】本质考察的是和差、和倍、差倍问题，尤其与差倍问题的解题思路是一致的，需注意到“年龄差不变”这个特点。
【解题思路】 可以利用“差倍问题”的解题思路和方法。
两个数的差÷（几倍－1）＝较小的数
例1 妈妈今年35岁，朵朵今年5岁，今年妈妈的年龄是朵朵的几倍？明年呢？
解：35÷5＝7（倍）
（35+1）÷（5+1）＝6（倍）
答：今年妈妈的年龄是朵朵的7倍，明年妈妈的年龄是朵朵的6倍。
例2 叔叔对小明说：“当我的岁数曾经是你现在的岁数时，你才4岁”。小明想了想，对叔叔说：“当我的岁数将来是你现在的岁数时，你将61岁”。求叔叔和小明现在的岁数各是多少？（可用方程解）
解：这里涉及到三个年份：过去某一年、今年、将来某一年。列表分析：
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过去某一年 |
今 年 |
将来某一年 |
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□岁 |
△岁 |
61岁 |
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4岁 |
□岁 |
△岁 |
表中两个“□”表示同一个数，两个“△”表示同一个数。
因为两个人的年龄差总相等：□－4＝△－□＝61－△，也就是4，□，△，61是等差数列，所以，61应该比4大3个年龄差，
因此二人年龄差为 （61－4）÷3＝19（岁）
叔叔今年的岁数为 △＝61－19＝42（岁）
小明今年的岁数为 □＝42－19＝23（岁）
答：叔叔今年的岁数是42岁，小明今年的岁数是23岁。
10. 航行题
【题型】 航行题分为行船题、列车题等。行船题要弄清船速与水速，船顺水航行的速度是船速与水速之和；船逆水航行的速度是船速与水速之差；列车题要注意列车车身的长度。
【关系式】 （顺水速度＋逆水速度）÷2＝船速
（顺水速度－逆水速度）÷2＝水速
顺水速＝船速×2－逆水速＝逆水速＋水速×2
逆水速＝船速×2－顺水速＝顺水速－水速×2
火车过桥：过桥时间＝（车长＋桥长）÷车速
火车追及：追及时间＝（甲车长＋乙车长＋距离）÷（甲车速－乙车速）
火车相遇：相遇时间＝（甲车长＋乙车长＋距离）÷（甲车速＋乙车速）
【解题思路】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。
例1 一条船顺水行600千米需用5个小时，水流速度是每小时20千米，这只船逆水行这段路程需用几小时？
解：由条件知，顺水速＝船速＋水速＝600÷5，而水速为每小时20千米，
所以，船速为每小时 600÷5－20＝100（千米）
船的逆水速为 100－20＝80（千米）
船逆水行这段路程的时间为 600÷80＝7.5（小时）
答：这只船逆水行这段路程需用7.5小时。
例2 振兴号货船顺水行500千米需5小时，逆水返回出发地需25小时；建设号货船逆水行同样一段距离需25小时，顺水返回出发地需多少时间？
解：由题意得 振兴号顺水行=船速＋水速＝500÷5＝100
振兴号逆水行=船速－水速＝500÷25＝20
可见 （100－20）相当于水速的2倍，
所以， 水速为每小时 （100－20）÷2＝40（千米）
建设号船速－水速＝500÷25，
所以， 建设船速为 500÷25＋40＝60（千米）
建设号顺水速为 60＋40＝100（千米）
所以， 建设号顺水航行500千米需要 500÷100＝5（小时）
答：建设号顺水返回原地需要5小时。
例3 一段隧道长24米，一辆卡车以每分钟20米的速度通过这条隧道，从车头开上桥到车尾离开桥共需要2分钟。这辆卡车长多少米？
解：卡车2分钟所行的路程，就是隧道长度与卡车车身长度的和。
（1）卡车2分钟行多少米？20×2＝40（米）
（2）这列卡车长多少米？40－24＝16（米）
列成综合算式 20×2－24＝16（米）
答：这量卡车长16米。
例4 一列火车穿越一条长200米的隧道用了8秒，以同样的速度通过一条长64米的大桥用了4秒。求这列火车的车速和车身长度各是多少？
解：车速和车长都不变，但通过隧道和大桥所用的时间不同，是因为隧道和大桥的长度不一样。可知火车在（8－4）秒的时间内行驶了（200－64）米的路程，因此，火车的车速为每秒
（200－64）÷（8－4）＝34（米）
车长+桥长的和为（34×4）米，
因此，车长为 34×4－64＝72（米）
答：火车的车速是每秒34米，车身长72米。
11. 时钟题
【题型】 研究钟面上时针与分针的关系，如时分分针重合、两针垂直、两针成一线、两针夹角为60度等。时钟问题可与追及问题相类比。
【公式】 分针的速度是时针的12倍，
二者的速度差为11/12。
通常按追及问题来对待，也可以按差倍问题来计算。
【解题思路和方法】 可以在草稿纸上画一画，将题目变通为“追及问题”后直接利用公式解题。
例1 从时针指向4点开始，再经过多少分钟时针正好与分针重合？
解：钟面的一周分为60格，分针每分钟走一格，每小时走60格；时针每小时走5格，每分钟走5/60＝1/12格。每分钟分针比时针多走（1－1/12）＝11/12格。4点整，时针与分针相距20格。所以
分针追上时针的时间为 20÷（1－1/12）≈22（分）
答：再经过22分钟时针正好与分针重合。
例2 四点和五点之间，时针和分针在什么时候成直角？
解：钟面上有60格，两针成直角是相距15格（包括分针在时针的前或后15格两种情况）。四点整的时候，分针在时针后（5×4）格，如果分针在时针后与它成直角，那么分针就要比时针多走 （5×4－15）格，如果分针在时针前与它成直角，那么分针就要比时针多走（5×4＋15）格。再根据1分钟分针比时针多走（1－1/12）格就可以求出二针成直角的时间。
（5×4－15）÷（1－1/12）≈ 6（分）
（5×4＋15）÷（1－1/12）≈ 38（分）
答：4点06分及4点38分时两针成直角。
12. 盈亏题
【含义】 根据一定人数，分配一定物品，在两次分配中，一次有余，一次不足，或两次都有余，或两次都不足，求人数或物品数。
【公式】 一般地说，在两次分配中，如果一次盈，一次亏，则有：
参加分配总人数＝（盈＋亏）÷分配差
如果两次都有余或都不足，则有：
参加分配总人数＝（大盈－小盈）÷分配差
参加分配总人数＝（大亏－小亏）÷分配差
【解题思路】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。
例1 餐厅给小朋友们准备草莓，如果每人分5个就余11个；若每人分6个就少1个。问有多少小朋友？有多少个草莓？
解：按照“参加分配的总人数＝（盈＋亏）÷分配差”的数量关系：
（1）有小朋友多少人？（11＋1）÷（6－5）＝12（人）
（2）有多少个草莓？5×12＋11＝71（个）或者6×12 – 1＝71（个）
答：有小朋友12人，有71个草莓。
例2 学校组织学生参观博物馆，如果每辆大巴车坐45人，就余下20人；如果每辆大巴车坐50人，就刚好坐完。问有多少车？多少人？
解 本题中的车辆数就相当于“参加分配的总人数”，于是就有
（1）有多少车？（20－0）÷（50－45）＝4（辆）
（2）有多少人？45×4＋20＝200（人）或 50×4＝200（人）
答：有4 辆车，有200人。
13. 工程题
【含义】 主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。这类应用题，在不明确说工作总量时，常用单位“1”表示工作总量。
【公式】 工作量＝工作效率×工作时间
工作时间＝工作量÷工作效率
工作时间＝总工作量÷（甲工作效率＋乙工作效率）
例1 工厂生产一批配件，白班做需要9天完成，晚班做需要18天完成，现在工厂全天做，需要几天完成？
解：题中的“一批配件”是工作总量，由于没有给出工程的具体数量，因此把它看作单位“1”。由于白班需要9天完成，那么每天完成1/9；晚班需要18天完成，每天完成1/18；全天做，每天可以完成（1/9＋1/18）。
由此可以列出算式：1÷（1/9＋1/18）＝1÷1/6＝6（天）
答：全天做需要6天完成。
例2 一个水池，底部装有一个常开的排水管，上部装有若干个同样粗细的进水管。当打开4个进水管时，需要5小时才能注满水池；当打开2个进水管时，需要15小时才能注满水池；现在要用2小时将水池注满，至少要打开多少个进水管？
解：注（排）水问题是一类特殊的工程问题。往水池注水或从水池排水相当于一项工程，水的流量就是工作量，单位时间内水的流量就是工作效率。
要2小时内将水池注满，即要使2小时内的进水量与排水量之差刚好是一池水。为此需要知道进水管、排水管的工作效率及总工作量（一池水）。只要设某一个量为单位1，其余两个量便可由条件推出。
我们设每个同样的进水管每小时注水量为1，则4个进水管5小时注水量为（1×4×5），2个进水管15小时注水量为（1×2×15），从而可知
每小时的排水量为 （1×2×15－1×4×5）÷（15－5）＝1
即一个排水管与每个进水管的工作效率相同。由此可知
一池水的总工作量为 1×4×5－1×5＝15
又因为在2小时内，每个进水管的注水量为 1×2，
所以，2小时内注满一池水
至少需要多少个进水管？ （15＋1×2）÷（1×2）＝8.5≈9（个）
答：至少需要9个进水管。
14. 比例题
【题型】 两种成比例的量，一个量变化，另一个量也随之变化。如果这两个量对应比值一定（即商一定），那么这两个量的关系叫做正比例关系；如果这两个量相对应的积一定，这两个量的关系叫做反比例关系。
【公式】 判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。许多典型应用题都可以转化为正反比例问题去解决。
【解题思路】 解决这类问题的重要方法是：把分率（倍数）转化为比，应用比和比例的性质去解应用题。
例1 城市在建设地铁轨道，已修的是未修的1/3，再修300米后，已修的变成未修的1/2，求这条地铁轨道总长是多少米？
解：由条件知，轨道总长不变。
原已建设长度∶总长度＝1∶（1＋3）＝1∶4＝3∶12
现已建设长度∶总长度＝1∶（1＋2）＝1∶3＝4∶12
比较以上两式可知，把总长度当作12份，则300米相当于（4－3）份，
从而知地铁轨道总长为 300÷（4－3）×12＝3600（米）
答： 这条地铁轨道总长3600米。
例2 一个大矩形被分成六个小矩形，其中四个小矩形的面积如图所示，求大矩形的面积。
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A |
25 |
20 |
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36 |
B |
16 |
解：由长方形面积公式可知，当长一定时，面积与宽成正比，所以每一上下两个小矩形面积之比就等于它们的宽的正比。又因为第一行三个小矩形的宽相等，第二行三个小矩形的宽也相等。因此，
A∶36＝20∶16 25∶B＝20∶16
解这两个比例，得 A＝45 B＝20
所以，大矩形面积为 45＋36＋25＋20＋20＋16＝162
答：大矩形的面积是162.
15. 分配题
【含义】 这类题一般已知总量和几个部分量的比，求部分量各是多少。
【关系式】 总份数＝比的前后项之和
【解题思路】 先把各部分量的比转化为各占总量的几分之几，把比的前后项相加求出总份数，再求各部分占总量的几分之几（以总份数作分母，比的前后项分别作分子），再按照求一个数的几分之几是多少的计算方法，分别求出各部分量的值。
例1 学校把清扫560平方米操场的任务按人数分配给六年级三个班，已知一班有47个学生，二班有48个学生，三班有45个学生，三个班各需清扫多少平方米？
解：总份数为 47＋48＋45＝140
一班清扫 560×47/140＝188（平方米）
二班清扫 560×48/140＝192（平方米）
三班清扫 560×45/140＝180（平方米）
答：一、二、三班分别植树188平方米、192平方米、180平方米。
例2 光明小学五年级一共三个班，已知第一、二、三班学生数之比为8∶12∶21，第一班比第二班少80个学生，光明小学五年级共多少个学生？
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人 数 |
80人 |
一共多少人？ |
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对应的份数 |
12－8 |
8＋12＋21 |
解： 80÷（12－8）×（8＋12＋21）＝820（个）
答：光明小学五年级一共820个学生。
16. 百分数题
【含义】 百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数。百分数是一种特殊的分数。分数既可以表示“率”，也可以表示“量”，而百分数只能表示“率”；百分数有一个专门的记号“%”。
在实际生活中，常用到“百分点”的概念，学生需知一个百分点就是1%，两个百分点就是2%。
【公式】 掌握“百分数”、“标准量”“比较量”三者之间的数量关系：
百分数＝比较量÷标准量
标准量＝比较量÷百分数
【解题思路】 一般有三种基本题型：
（1） 求一个数是另一个数的百分之几；
（2） 已知一个数，求它的百分之几是多少；
（3） 已知一个数的百分之几是多少，求这个数。
例1 果园里，苹果树有120棵，剩下梨树有840棵，苹果树与梨树各占果园果树总量的百分之几？
解 （1）苹果树占 120÷（120＋840）＝12.5%
（2）梨树占 840÷（120＋840）＝87.5%
答：苹果树占12.5%，梨树占87.5%。
例2 光明小学有男同学420人，有女同学380人，男、女同学各占全校学生的百分之几？
解 （1）男同学占 420÷（420＋380）＝0.525＝52.5%
（2）女同学占 380÷（420＋380）＝0.475＝47.5%
答：男同学占全校学生的52.5%，女同学占47.5%。
例3 百分数又叫百分率，百分率在工农业生产中应用很广泛，常见的百分率有：
增长率＝增长数÷原来基数×100%
合格率＝合格产品数÷产品总数×100%
出勤率＝实际出勤人数÷应出勤人数×100%
出勤率＝实际出勤天数÷应出勤天数×100%
缺席率＝缺席人数÷实有总人数×100%
发芽率＝发芽种子数÷试验种子总数×100%
成活率＝成活棵数÷种植总棵数×100%
出粉率＝面粉重量÷小麦重量×100%
出油率＝油的重量÷油料重量×100%
废品率＝废品数量÷全部产品数量×100%
命中率＝命中次数÷总次数×100%
烘干率＝烘干后重量÷烘前重量×100%
及格率＝及格人数÷参加考试人数×100%
17. “牛吃草”题
【题型】 “牛吃草”问题的特点，在于要考虑草边吃边长这个因素。
【公式】 草总量＝原有草量＋草每天生长量×天数
【解题思路】 解这类题的关键是求出草每天的生长量。
例1 一个牧场中，10头牛20天可以把草吃完，15头牛10天可以把草吃完。问多少头牛5天可以把草吃完？
解：草是均匀生长的，所以，草总量＝原有草量＋草每天生长量×天数。求“多少头牛5天可以把草吃完”，就是说5 天内的草总量要5 天吃完的话，得有多少头牛？设每头牛每天吃草量为1，按以下步骤解答：
（1）求草每天的生长量
因为，一方面20天内的草总量就是10头牛20天所吃的草，即（1×10×20）；另一方面，20天内的草总量又等于原有草量加上20天内的生长量，所以
1×10×20＝原有草量＋20天内生长量
同理 1×15×10＝原有草量＋10天内生长量
由此可知 （20－10）天内草的生长量为
1×10×20－1×15×10＝50
因此，草每天的生长量为 50÷（20－10）＝5
（2）求原有草量
原有草量＝10天内总草量－10内生长量＝1×15×10－5×10＝100
（3）求5 天内草总量
5 天内草总量＝原有草量＋5天内生长量＝100＋5×5＝125
（4）求多少头牛5 天吃完草
因为每头牛每天吃草量为1，所以每头牛5天吃草量为5。
因此5天吃完草需要牛的头数 125÷5＝25（头）
答：需要5头牛5天可以把草吃完。
例2 一只船有一个漏洞，水以均匀速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水。如果有12个人淘水，3小时可以淘完；如果只有5人淘水，要10小时才能淘完。求17人几小时可以淘完？
解 这是一道变相的“牛吃草”问题。与上题不同的是，最后一问给出了人数（相当于“牛数”），求时间。设每人每小时淘水量为1，按以下步骤计算：
（1）求每小时进水量
因为，3小时内的总水量＝1×12×3＝原有水量＋3小时进水量
10小时内的总水量＝1×5×10＝原有水量＋10小时进水量
所以，（10－3）小时内的进水量为 1×5×10－1×12×3＝14
因此，每小时的进水量为 14÷（10－3）＝2
（2）求淘水前原有水量
原有水量＝1×12×3－3小时进水量＝36－2×3＝30
（3）求17人几小时淘完
17人每小时淘水量为17，因为每小时漏进水为2，所以实际上船中每小时减少的水量为（17－2），所以17人淘完水的时间是
30÷（17－2）＝2（小时）
答：17人2小时可以淘完水。
18. 鸡兔同笼
【含义】 这是古典的算术问题。已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚，求鸡、兔各有多少只的问题，叫做第一鸡兔同笼问题。已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差，求鸡、兔各是多少的问题叫做第二鸡兔同笼问题。
【数量关系】第一鸡兔同笼问题：
假设全都是鸡，则有
兔数＝（实际脚数－2×鸡兔总数）÷（4－2）
假设全都是兔，则有
鸡数＝（4×鸡兔总数－实际脚数）÷（4－2）
第二鸡兔同笼问题：
假设全都是鸡，则有
兔数＝（2×鸡兔总数－鸡与兔脚之差）÷（4＋2）
假设全都是兔，则有
鸡数＝（4×鸡兔总数＋鸡与兔脚之差）÷（4＋2）
【解题思路和方法】 解答此类题目一般都用假设法，可以先假设都是鸡，也可以假设都是兔。如果先假设都是鸡，然后以兔换鸡；如果先假设都是兔，然后以鸡换兔。这类问题也叫置换问题。通过先假设，再置换，使问题得到解决。
例1 鸡兔圈在一笼里，一共有35个头，一共有94只脚。请你仔细算一算，多少兔子多少鸡？
解：假设笼子里35只都是兔子，则
鸡数＝（4×35－94）÷（4－2）＝23（只）
兔数＝35－23＝12（只）
也可以先假设35只全为鸡，则
兔数＝（94－2×35）÷（4－2）＝12（只）
鸡数＝35－12＝23（只）
答：有鸡23只，有兔12只。
例2 2亩菠菜要施肥1千克，5亩白菜要施肥3千克，两种菜共16亩，施肥9千克，求白菜有多少亩？
解 此题实际上是改头换面的“鸡兔同笼”问题。“每亩菠菜施肥（1÷2）千克”与“每只鸡有两个脚”相对应，“每亩白菜施肥（3÷5）千克”与“每只兔有4只脚”相对应，“16亩”与“鸡兔总数”相对应，“9千克”与“鸡兔总脚数”相对应。假设16亩全都是菠菜，则有
白菜亩数＝（9－1÷2×16）÷（3÷5－1÷2）＝10（亩）
答：白菜地有10亩。
例3李老师用69元给学校买作业本和日记本共45本，作业本每本 3 .20元，日记本每本0.70元。问作业本和日记本各买了多少本？
解 此题可以变通为“鸡兔同笼”问题。假设45本全都是日记本，则有
作业本数＝（69－0.70×45）÷（3.20－0.70）＝15（本）
日记本数＝45－15＝30（本）
答：作业本有15本，日记本有30本。
例4 （第二鸡兔同笼问题）鸡兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只？
解 假设100只全都是鸡，则有
兔数＝（2×100－80）÷（4＋2）＝20（只）
鸡数＝100－20＝80（只）
答：有鸡80只，有兔20只。
19. 方阵题
【含义】 将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题。
【数量关系】 （1）方阵每边人数与四周人数的关系：
四周人数＝（每边人数－1）×4
每边人数＝四周人数÷4＋1
（2）方阵总人数的求法：
实心方阵：总人数＝每边人数×每边人数
空心方阵：总人数＝（外边人数）－（内边人数）
内边人数＝外边人数－层数×2
（3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：
总人数＝（每边人数－层数）×层数×4
【解题思路和方法】 方阵问题有实心与空心两种。实心方阵的求法是以每边的数自乘；空心方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。
例1 在光明小学的运动会上，参加体操表演的同学排成方阵，每行22人，参加体操表演的同学一共有多少人？
解 22×22＝484（人）
答：参加体操表演的同学一共有484人。
例2 一堆棋子，排列成正方形，多余4棋子，若正方形纵横两个方向各增加一层，则缺少9只棋子，问有棋子多少个？
解 （1）纵横方向各增加一层所需棋子数＝4＋9＝13（只）
（2）纵横增加一层后正方形每边棋子数＝（13＋1）÷2＝7（只）
（3）原有棋子数＝7×7－9＝40（只）
答：棋子有40只。
例3 有一个三角形树林，顶点上有1棵树，以下每排的树都比前一排多1棵，最下面一排有5棵树。这个树林一共有多少棵树？
解 第一种方法：1＋2＋3＋4＋5＝15（棵）
第二种方法： （5＋1）×5÷2＝15（棵）
答：这个三角形树林一共有15棵树。
20. 利润题
【含义】 这是一种在生产经营中经常遇到的问题，包括成本、利润、利润率和亏损、亏损率等方面的问题。
【数量关系】 利润＝售价－进货价
利润率＝（售价－进货价）÷进货价×100%
售价＝进货价×（1＋利润率）
亏损＝进货价－售价
亏损率＝（进货价－售价）÷进货价×100%
【解题思路】 简单的题目可以直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。
例1 猪肉近期的价格波动比较大，平均价格在一月份上调了10%，到二月份又下调了10%，猪肉从原价到二月份的价格变动情况如何？
解：设猪肉的原价为1，则一月份售价为（1＋10%），二月份的售价为（1＋10%）×（1－10%），所以二月份售价比原价下降了
1－（1＋10%）×（1－10%）＝1%
答：二月份比原价下降了1%。
例2 某种商品，甲店的进货价比乙店的进货价便宜10%，甲店按30%的利润定价，乙店按20%的利润定价，结果乙店的定价比甲店的定价贵6元，求乙店的定价。
解 设乙店的进货价为1，则甲店的进货价为 1－10%＝0.9
甲店定价为 0.9×（1＋30%）＝1.17
乙店定价为 1×（1＋20%）＝1.20
由此可得 乙店进货价为 6÷（1.20－1.17）＝200（元）
乙店定价为 200×1.2＝240（元）
答：乙店的定价是240元。
21. 存款利率问题
【题型】 把钱存入银行是有一定利息的，利息的多少，与本金、利率、存期这三个因素有关。利率一般有年利率和月利率两种。
【数量关系】 年（月）利率＝利息÷本金÷存款年（月）数×100%
利息＝本金×存款年（月）数×年（月）利率
本利和＝本金＋利息
＝本金×［1＋年（月）利率×存款年（月）数］
【解题思路】 简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。
例1 小明在银行存入1200元，月利率0.8%，到期后连本带利共取出1488元，求存款期多长。
解：因为存款期内的总利息是（1488－1200）元，
所以总利率为 （1488－1200）÷1200 又因为已知月利率，
所以存款月数为 （1488－1200）÷1200÷0.8%＝30（月）
答：小明的存款期是30月即两年半。
例2 银行定期整存整取的年利率是：二年期7.92%，三年期8.28%，五年期9%。如果甲乙二人同时各存入1万元，甲先存二年期，到期后连本带利改存三年期；乙直存五年期。五年后二人同时取出，那么，谁的收益多？多多少元？
解 甲的总利息［10000×7.92%×2＋［10000×（1＋7.92%×2）］×8.28%×3
＝1584＋11584×8.28%×3＝4461.47（元）
乙的总利息 10000×9%×5＝4500（元）
4500－4461.47＝38.53（元）
答：乙的收益较多，乙比甲多38.53元。
22. 溶液浓度题
【题型】 在生产和生活中，我们经常会遇到溶液浓度问题。这类问题研究的主要是溶剂（水或其它液体）、溶质、溶液、浓度这几个量的关系。例如，水是一种溶剂，被溶解的东西叫溶质，溶解后的混合物叫溶液。溶质的量在溶液的量中所占的百分数叫浓度，也叫百分比浓度。
【数量关系】 溶液＝溶剂＋溶质
浓度＝溶质÷溶液×100%
【解题思路】 简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。
例1 爷爷有16%的糖水50克，（1）要把它稀释成10%的糖水，需加水多少克？（2）若要把它变成30%的糖水，需加糖多少克？
解 （1）需要加水多少克？50×16%÷10%－50＝30（克）
（2）需要加糖多少克？50×（1－16%）÷（1－30%）－50＝10（克）
答：（1）需要加水30克，（2）需要加糖10克。
例2 甲烧杯有浓度为12%的盐水500克，乙容器有500克水。把甲中盐水的一半倒入乙中，混合后再把乙中现有盐水的一半倒入甲中，混合后又把甲中的一部分盐水倒入乙中，使甲乙两容器中的盐水同样多。求最后乙中盐水的百分比浓度。
解：由条件知，倒了三次后，甲乙两容器中溶液重量相等，各为500克，因此，只要算出乙容器中最后的含盐量，便会知所求的浓度。下面列表推算：
|
甲容器 |
乙容器 |
|
|
原 有 |
盐水500 盐500×12%＝60 |
水500 |
|
第一次把甲中一半倒入乙中后 |
盐水500÷2＝250 盐60÷2＝30 |
盐水500＋250＝750 盐30 |
|
第二次把乙中一半倒入甲中后 |
盐水250＋375＝625 盐30＋15＝45 |
盐水750÷2＝375 盐30÷2＝15 |
|
第三次使甲乙中盐水同样多 |
盐水500 盐45－9＝36 |
盐水500 盐45－36＋15＝24 |
由以上推算可知，
乙容器中最后盐水的百分比浓度为 24÷500＝4.8%
答：乙容器中最后的百分比浓度是4.8%。
23. 构图题
【含义】 这是一种数学游戏，设计出一种图形，就是把一定的数字填入图中。
【数量关系】 根据不同题目的要求而定。
【解题思路】 通常多从三角形、正方形、圆形和五角星等图形方面考虑。按照题意来构图布数，符合题目所给的条件。
例1十棵樱花树，要栽五行，每行四棵，请你想法子。
解 符合题目要求的图形应是一个五角星。
4×5÷2＝10
因为五角星的5条边交叉重复，应减去一半。
例2 把12拆成1到7这七个数中三个不同数的和，有几种写法？请设计一种图形，填入这七个数，每个数只填一处，且每条线上三个数的和都等于12。
解 共有五种写法，即 12＝1＋4＋7 12＝1＋5＋6 12＝2＋3＋7
12＝2＋4＋6 12＝3＋4＋5
在这五个算式中，4出现三次，其余的1、2、3、5、6、7各出现两次，因此，4应位于三条线的交点处，其余数都位于两条线的交点处。
24. 幻方题
【题型】 把n×n个自然数排在正方形的格子中，使各行、各列以及对角线上的各数之和都相等，这样的图叫做幻方。最简单的幻方是三级幻方。
【公式】 每行、每列、每条对角线上各数的和都相等，这个“和”叫做“幻和”。
三级幻方的幻和＝45÷3＝15
五级幻方的幻和＝325÷5＝65
【解题思路】首先要确定每行、每列以及每条对角线上各数的和（即幻和），其次是确定正中间方格的数，然后再确定其它方格中的数。
例1 把1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数填入九个方格中，使每行、每列、每条对角线上三个数的和相等。
解 幻和的3倍正好等于这九个数的和，所以幻和为
（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9）÷3＝45÷3＝15
九个数在这八条线上反复出现构成幻和时，每个数用到的次数不全相同，最中心的那个数要用到四次（即出现在中行、中列、和两条对角线这四条线上），四角的四个数各用到三次，其余的四个数各用到两次。看来，用到四次的“中心数”地位重要，宜优先考虑。
设“中心数”为Χ，因为Χ出现在四条线上，而每条线上三个数之和等于15，所以 （1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9）＋（4－1）Χ＝15×4
即 45＋3Χ＝60 所以 Χ＝5
接着用奇偶分析法寻找其余四个偶数的位置，它们
|
2 |
7 |
6 |
|
9 |
5 |
1 |
|
4 |
3 |
8 |
分别在四个角，再确定其余四个奇数的位置，它们分别
在中行、中列，进一步尝试，容易得到正确的结果。
例2 把2，3，4，5，6，7，8，9，10这九个数填到九个方格中，
使每行、每列、以及对角线上的各数之和都相等。
解 只有三行，三行用完了所给的9个数，所以每行三数之和为
（2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10）÷3＝18
|
9 |
2 |
7 |
|
4 |
6 |
8 |
|
5 |
10 |
3 |
假设符合要求的数都已经填好，那么三行、三列、两条对角线共8行上的三个数之和都等于18，我们看18能写成哪三个数之和：
最大数是10：18＝10＋6＋2＝10＋5＋3
最大数是9：18＝9＋7＋2＝9＋6＋3＝9＋5＋4
最大数是8：18＝8＋7＋3＝8＋6＋4
最大数是7：18＝7＋6＋5 刚好写成8个算式。
首先确定正中间方格的数。第二横行、第二竖行、两个斜行都用到正中间方格的数，共用了四次。观察上述8个算式，只有6被用了4次，所以正中间方格中应填6。
然后确定四个角的数。四个角的数都用了三次，而上述8个算式中只有9、7、5、3被用了三次，所以9、7、5、3应填在四个角上。但还应兼顾两条对角线上三个数的和都为18。
最后确定其它方格中的数。如图。
25. 抽屉原则题
【题型】 把3只苹果放进两个抽屉中，会出现哪些结果呢？要么把2只苹果放进一个抽屉，剩下的一个放进另一个抽屉；要么把3只苹果都放进同一个抽屉中。这两种情况可用一句话表示：一定有一个抽屉中放了2只或2只以上的苹果。
【公式】 基本的抽屉原则是：如果把n＋1个物体（也叫元素）放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中放着2个或更多的物体（元素）。
抽屉原则可以推广为：如果有m个抽屉，有k×m＋r（0＜r≤m）个元素那么至少有一个抽屉中要放（k＋1）个或更多的元素。
通俗地说，如果元素的个数是抽屉个数的k倍多一些，那么至少有一个抽屉要放（k＋1）个或更多的元素。
【解题思路】 （1）改造抽屉，指出元素；
（2）把元素放入（或取出）抽屉；
（3）说明理由，得出结论。
例1 育才小学有367个2000年出生的学生，那么其中至少有几个学生的生日是同一天的？
解：由于2000年是润年，全年共有366天，可以看作366个“抽屉”，把367个1999年出生的学生看作367个“元素”。367个“元素”放进366个“抽屉”中，至少有一个“抽屉”中放有2个或更多的“元素”。这说明至少有2个学生的生日是同一天的。
例2 一个袋子里有一些球，这些球仅只有颜色不同。其中红球10个，白球9个，黄球8个，蓝球2个。某人闭着眼睛从中取出若干个，试问他至少要取多少个球，才能保证至少有4个球颜色相同？
解：把四种颜色的球的总数（3＋3＋3＋2）＝11 看作11个“抽屉”，那么，至少要取（11＋1）个球才能保证至少有4个球的颜色相同。
答；他至少要取12个球才能保证至少有4个球的颜色相同。
26. 公约公倍题
【题型】 需要用公约数、公倍数来解答的应用题叫做公约数、公倍数问题。
【公式】 绝大多数要用最大公约数、最小公倍数来解答。
【解题思路】 先确定题目中要用最大公约数或者最小公倍数，再求出答案。最大公约数和最小公倍数的求法，最常用的是“短除法”。
例1 一张硬纸板长60厘米，宽56厘米，现在需要把它剪成若干个大小相同的最大的正方形，不许有剩余。问正方形的边长是多少？
解 硬纸板的长和宽的最大公约数就是所求的边长。
60和56的最大公约数是4。
答：正方形的边长是4厘米。
例2 一盒围棋子，4个4个地数多1个，5个5个地数多1个，6个6个地数还多1个。又知棋子总数在150到200之间，求棋子总数。
解 如果从总数中取出1个，余下的总数便是4、5、6的公倍数。因为4、5、6的最小公倍数是60，又知棋子总数在150到200之间，所以这个总数为
60×3＋1＝181（个）
答：棋子的总数是181个。
27. 最值题
【题型】 科学的发展观认为，国民经济的发展既要讲求效率，又要节约能源，要少花钱多办事，办好事，以最小的代价取得最大的效益。
【公式】 一般是求最大值或最小值。
【解题思路】 按照题目的要求，求出最大值或最小值。
例1 在火炉上烤饼，饼的两面都要烤，每烤一面需要3分钟，炉上只能同时放两块饼，现在需要烤三块饼，最少需要多少分钟？
解 先将两块饼同时放上烤，3分钟后都熟了一面，这时将第一块饼取出，放入第三块饼，翻过第二块饼。再过3分钟取出熟了的第二块饼，翻过第三块饼，又放入第一块饼烤另一面，再烤3分钟即可。这样做，用的时间最少，为9分钟。
答：最少需要9分钟。
28. 列方程题
【含义】 把应用题中的未知数用字母Χ代替，根据等量关系列出含有未知数的等式——方程，通过解这个方程而得到应用题的答案，这个过程，就叫做列方程解应用题。
【数量关系】 方程的等号两边数量相等。
【解题思路和方法】 可以概括为“审、设、列、解、验、答”六字法。
（1）审：认真审题，弄清应用题中的已知量和未知量各是什么，问题中的等量关系是什么。
（2）设：把应用题中的未知数设为Χ。
（3）列；根据所设的未知数和题目中的已知条件，按照等量关系列出方程。
（4）解；求出所列方程的解。
（5）验：检验方程的解是否正确，是否符合题意。
（6）答：回答题目所问，也就是写出答问的话。
同学们在列方程解应用题时，一般只写出四项内容，即设未知数、列方程、解方程、答语。设未知数时要在Χ后面写上单位名称，在方程中已知数和未知数都不带单位名称，求出的Χ值也不带单位名称，在答语中要写出单位名称。检验的过程不必写出，但必须检验。
例1 甲乙两辆车共90人，甲车比乙车人数的2倍少30人，求两车各有多少人？
解 第一种方法：设乙车有Χ人，则甲车有（90－Χ）人。
找等量关系：甲车人数＝乙车人数×2－30人。
列方程：90－Χ＝2Χ－30
解方程得 Χ＝40 从而知 90－Χ＝50
第二种方法：设乙车有Χ人，则甲车有（2Χ－30）人。
列方程 （2Χ－30）＋Χ＝90
解方程得 Χ＝40 从而得知 2Χ－30＝50
答：甲车有50人，乙车有40人。
例2 一个笼子里有鸡兔35只，共有94只脚，问有多少兔？多少鸡？
解 第一种方法：设兔为Χ只，则鸡为（35－Χ）只，兔的脚数为4Χ个，鸡的脚数为2（35－Χ）个。根据等量关系“兔脚数＋鸡脚数＝94”
可列出方程 4Χ＋2（35－Χ）＝94 解方程得 Χ＝12 则35－Χ＝23
第二种方法：可按“鸡兔同笼”问题来解答。假设全都是鸡，
则有 兔数＝（实际脚数－2×鸡兔总数）÷（4－2）
所以 兔数＝（94－2×35）÷（4－2）＝12（只）
鸡数＝35－12＝23（只）
答：鸡是23只，兔是12只。
例3 仓库里有化肥940袋，两辆汽车4次可以运完，已知甲汽车每次运125袋，乙汽车每次运多少袋？
解 第一种方法：求出甲乙两车一次共可运的袋数，再减去甲车一次运的袋数，即是所求。
940÷4－125＝110（袋）
第二种方法：从总量里减去甲汽车4次运的袋数，即为乙汽车共运的袋数，再除以4，即是所求。
（940－125×4）÷4＝110（袋）
第三种方法：设乙汽车每次运Χ袋，可列出方程 940÷4－Χ＝125
解方程得 Χ＝110
第四种方法：设乙汽车每次运Χ袋，依题意得
（125＋Χ）×4＝940 解方程得 Χ＝110
答：乙汽车每次运110袋。
消去法
在一些应用题中，有时会出现两个或两个以上并列的未知数，我们可以根据数据特点，设法消去一个或两个未知数，只保留其中的一个未知数，在求得这个未知数后，再求出其它的未知数。这种解题思路和方法就是消去法。
[例1]学校买了4张办公桌和1把椅子，共用去510元，后又买来6张办公桌和1把椅子共用去750元。求每张办公桌和每把椅子各多少元？
[分析与解]根据已知条件，列出关系式：
4张桌子的价钱+1把椅子的价钱=510元—————①
6张桌子的价钱+1把椅子的价钱=750元—————②
观察比较两个等式，②式比①式多买了（6-4）张桌子，就多用了（750-510）元，从而可以求出每张办公桌为（750-510）÷（6-4）=120元，每把椅子为510-120×4=30元
