【126】观摩课例，深度研修——李蕾小学数学工作坊参加HPM工作室小学教研基地第十六场研讨活动

追 根 溯 源

向 史 而 行

花开花谢，秋去冬来。11月19日晚，李蕾工作室全体坊员相聚云端，共同参与了数学史与数学教育（HPM）工作室小学教研基地第16场教研活动。

本次活动在岳增成博士的组织下，由吉林市第一实验小学团队，陈金飞名师工作室和刘爱东名师（劳模）工作室共同进行“比的认识”课例研讨，目的在于帮助学生从历史的角度出发更好地理解“比”多元的含义，同时也为各位老师教授“比”提供一些借鉴。

课例分享

 第一节课由吉林市第一实验小学郭佳乐老师带来《比的认识》。郭老师先从份数、倍数不同的角度认识比；然后借助生活中常见的人数比、面积比、历史上青铜器中铜锡的比、测量中日高与影长的比等素材引导学生从四个角度侧面理解比的意义；然后借助对速度、价格等常见数量关系的分析认识不同类量的比；最后联系比赛分数、黄金比和三个量的连比，明晰比和除法的区别。

课后郭老师进行了教学反思。首先对比以往“比的认识”教学，提出本节课的优势与不足；然后从三个层次说明本节课的教学活动；接着分别从三个方面详细阐述了教学活动的设计意图；最后提出自己的困惑。

随后由江苏省启东实验小学刘爱东老师进行点评。刘老师结合张奠宙教授对比的解读，分别从以史为鉴正确定位“比”的源流，素材丰富多角度感悟概念本质，任务引领多层次推进教学进程三个维度进行精彩点评，同时提出两个建议。

第二节课由来自陈金飞名师工作室的徐佳颖老师带来《比的意义》。徐老师首先借助秦代和汉代钱币中铜、铅成分的问题，把之前学习的倍、份数、分数的知识串联起来，引导学生发现古钱币中铜和铅的份数关系和倍数关系，并尝试去表示这种关系，初步感知和理解比的含义；接着介绍了古代数学家莱布尼茨用比表示除法关系时经历的过程，了解比产生的源头，认识比的各部分名称，并建立各部分与除法的联系；然后提出“用除法已经能够表示铜和铅的关系，为什么还要学习比”这个问题，学生交流后发现“比”和“除法”不是等价概念；之后又结合“后来人们在古钱币中加入锌这一成分”的情境，引导学生去发现“比”可以表示几个量的关系；然后又引导学生重点探讨了比赛中的“比分”和数学中的“比”的区别，得出数学上的比是两数相除的倍数关系，而比分是两个量相差多少的关系；徐老师接着设计了解决“选择哪位工人”的现实问题，让学生在计算的过程中认识不同类量的比；最后徐老师呈现了国旗长宽比问题，蜂蜜水中蜂蜜与温水的配比问题，以及在方格图中画出长宽比是2:1的长方形问题等，引导学生对比的含义的进一步的理解与运用。

课后徐佳颖老师先从教学目的和史料分析两方面阐述了本节课的设计意图，又对本课进行了反思，并提出自己的困惑。

随后吉林市第一实验小学宋磊老师分别从以下四个方面肯定了徐老师本节课的教学。一、追本溯源，从历史发展角度理解比的意义；二、层层递进，探寻比的概念本质和特有价值；三、解决问题，体会不同类量产生的实际需要；四、深化应用，建立比的知识与生活的密切联系。并提出三个建议。

教学研讨

 接着进入研讨时间。杭州师范大学岳增成博士首先谈到比的意义来源于描述与测量的需要、物物交换的需要、合成与分配的需要、自然与美学的需要；接着又针对两位老师的课例提出比的教学是否可以实现比的存在的数学刻画与比的意义的外在表现的统一，引发各位老师的思考；然后突出强调了关系才是比的内容和本质，除法、分数只是比的形式和现象；最后提出自己对于数学史融入教学的重构设想。

北京教育学院潘丽云博士对今晚的研修活动进行点评。她首先肯定了今晚分享的各个团队，对大家的探索和尝试表示肯定。她希望老师们进一步厘清比的教学定位，选择合适的时机恰当引入，从同类量过渡到不同类量；然后针对数学意义上的比和生活中的比的一致和不一致的问题，建议让学生去辨析从而更好地理解比的意义；之后潘博强调老师要把握好史料的选材和应用，达到材料能引起学生深入思考，帮助理解概念以及拓宽视野，同时也强调不能忽视学生提出的问题；最后谈到在单元的视角下逐步去用史料就可以避免老师们的困惑。

本次研修为大家提供了比较成熟的课例示范，加上前几次的历史研究和课例设计专场研究，老师们跟随三个团队和专家的引领，完整地经历了HPM课例的开发过程，收获非常多。

 11月19日晚，数学史与数学教育（HPM）工作室小学教研活动进行到了十六场，这次主题是“比、比例”。吉林市第一实验小学、陈金飞名师工作室分享HPM课例，刘爱东名师工作室进行点评，岳增成、潘丽云博士进行点评。

吉林第一实验小学团队和陈金飞名师工作室两位老师的展示课一看都是在认真研读历史额基础上精心设计的。两位老师的课具有几个共同点：

1.教学情况选材都突出了比的本质，即两个量之间的关系。

郭佳乐老师教学中共出现了8种素材：蜂蜜水的比、照片长宽比、男女生人数比、转盘面积比、青铜器材料配比、日高和影长之比、黄金比、速度路程时间关系、单价数量总价关系等素材。徐佳莹老师选择了秦半两、汉半两、嘉庆通宝三种钱币比赛分数、工作量关系、国旗长宽比、混凝土成分比、肥皂泡之比、蜂蜜水之比、《九章算术》粟米章中的粮食交换，介绍了比号的发明人莱布尼兹。两位老师选择的每种素材都能帮助学生理解比的本质，丰富学生对比的内涵的感悟。

2.数学史的融入序列均为从同类量之比到不同类量之比，符合历史发展顺序。这是我们前期研读历史的共识。

3.两节课都是比的认识的第一课时，都运用了“除法”来定义比。郭老师明确给出了定义的文字，介绍了比各部分的名称，概念给得比较早，板书左边是概念，右边是具体情境中的数量关系。徐老师突出了比是倍数关系，在比的意义课题下板书了“倍数”两个字，点名比是一种关系，下面板书了用除法求比值的算式，指出工作量就是“比值”，板书完成较晚，大约后半节课时才完成。能看出老师的侧重点有所不同。

4.在数学史隐形融入的基础上，都有数学史、数学文化的显性融入，应用都比较恰当。郭老师选择的黄金比、日高影长之比，徐老师使用的钱币铸造之比、粮食交换之比都是历史真实问题，这样的题目进入课堂，不仅有促进知识理解的作用，还有丰富的文化传承影响。

以上四个共同点都值得我们借鉴。

刘爱东老师的点评标题非常好——“以史为鉴，优化素材，深度重构”，可以作为我们“比和比例”课例开发的总标题，这也是我们开发HPM课例的追求。他虽然是对郭老师的点评，但是我认为这两点认识：丰富素材促进学生多角度感悟概念本质和任务引领推进学生多层次认识进程，言简意赅，也很适合第二位徐老师。

我非常赞同岳博、潘博的意见——从单元整体的角度来开发设计教学过程。如果从单元整体的角度来设计教学，我们或许可以更好做到以下两点：

1.精选素材，用好素材。

“两节课都容量大”。这不仅是潘博的感觉，我也有同感。就像上次的《分数除法》课例，我们阅读的史料太多了，就像把它都教给孩子，但是好心往往起反作用，学生会吃不消的。应该放缓步子，慢慢来。岳博提出的以物物交换为背景引入比的定义，在合成与分配中促进意义的丰富理解，理解时要注重现实意义、图形表征、语言表述之间的一致性，然后走向不同类量之比的飞跃，这个路径是一个很好的方向。我想，我们不妨分三节课来上，第一节就以《九章算术》中粟米章的物物交换为学习背景，在具体情况种引出比，让学生体会比表达数量之间倍数关系的优越性，感悟创造比的必要性，同时认识比号，显性融入比号的历史，发展数感和符号意识。第二节课采用合成与分配的素材，结合饮料配比问题，认识连比，采用多元表征理解比的丰富内涵，发展推理意识和应用意识。第三节再研究图片长宽之比，由具体数量之比进入一维线段之比，然后拓展欧几里得对比的定义，介绍黄金比，体会比中蕴含的数学美，第四节进入较为抽象的速度路程时间关系，学习非同类量也可以用比来表示，拓展到单价数量总价关系，介绍《九章算术》中的今有术，以及西方的“三一律”，延伸到比例，发展模型意识，帮助学生构建起比和比例的认知图式，勾连比和分数、除法的关系，实现思维的飞跃、智力和情感的和谐发展。

2.“少教多学”，关注理解。

根据新课标的理念，我们要更多采用自主合作探究的学习方式，来引导学生在积累知识、发展能力的同时，学会学习。我们可以利用历史素材、概念的历史发展过程，为学生搭建探究的情境和思考的支架，让学生在具体情境中积极思考，大胆交流，真实表达。教师要从转换身份，从知识的传递者转变为学生探究学习活动的引导者。我们要在创设好情境之后大胆放手，让学生自己学、自己说、敢争辩，有质疑，把课堂还给学生，让学生展示自己的理解，我们教师只是去启发，只是去引导，让学生在表达中发现知识，自主构建，实现深度学习。

我们要大胆设想，有了数学史的课堂，会是什么样子？我想，至少应该更加凸显比的产生是物物交易过程中的历史需要，比的出现让合成和分配变得一目了然，交流便捷，生产高效。中国算学思想的精髓是实用性，这也一直是推动中国数学发展的强劲动力，我们是在解决一个个实际问题的过程中发明了数学知识，并应用它来帮助我们解决一个个实际问题的，这是比的教学应该让学生感知的。同时，思路一转，比仅仅具有实用性吗？不是的，还是思辨的结果，有抽象的叙述，欧几里得的《几何原本》就展示了西方数学家对比的思考。比仅仅是这些吗？还不是，比是大自然的语言，是万物的生长法则，黄金比在动物、植物中的实例再此颠覆学生的认知。融入了数学史额课堂，我们每一节都让学生跟着数学家思考、像数学家一样思考，一步步在探索中发现数学知识，我们要一步步引导学生，让他们认识到：我们不是创造数学，我们是在发现数学。正如伽利略所说，“自然之书是用数学语言写成的!”在这个单元，我们发现了大自然的语言是——比。如果这样，融入了数学史的课堂将熠熠生辉，在彰显理性精神的同时，还充满了人性智慧的光芒。

最后，感谢三个团队的付出！一步步探索、实践，给我们展示了高质量的课堂，为我们提供了优质课例，让我们学到许多！

感谢岳博、潘博的专业引领！在两位专家的指引下，我们的HPM探索不会拘于片面、不会跑偏。这种持续的提携对我们一线教师来说是最宝贵的专业指导，也是最温柔的陪伴。孩子需要成长，教师也是。

春种，夏种，秋收，冬藏。四季轮回，时光流转，初心不改，继续前行。

今天的2节课例都十分精彩，给了我数学史融入教学设计的启发—-丰富教学素材，数学史不在单单是附加式的介绍，可以有血有肉的融入教学素材，可以让学生在学习材料的基础上，对比古今，分析素材，从而体会学习的共性。第一节课的郭老师在第二环节借助学习资料在让学生了解中国古代兵器打造和古希腊太阳位置与影长关系的分析中感悟比的本质，描述两个量之间的关系，使学生既加深本课知识点目标完成又丰富视野；第二节课徐老师则更是将史料贯穿整节课堂，从秦半两到莱布尼茨，再到铜币的进一步改造，在遵循历史演变过程中感悟比的意义，将合成与分配这一需要体现的淋漓尽致。

思考：潘博士提出数学史的融入应该更好的站在单元视角，我非常赞同。加入李蕾老师团队也一年有余，对数学史融入的教学设计始终不能深入，我想正是自己缺少整体观，总是临时抱佛脚为了融入而融入。我想应该重新整理，整体架构，比如现在正在教学的五年级上册“分数的意义”这一单元。

我们应该将分数的产生和发展及应用的相关史料做一梳理，然后将史料与教材的编写顺序、意图统一规划，分散到这四个单元的教学中，使数学史的融入整合到教材的学习中，相当于一个辅助教材，这样才能真正做到数学史的重构，才能让教师和学生真正体会HPM的课堂。

今天的两节课，很精彩。第一节郭老师的课，注重的是从甜度还有从长宽的关系比较的。这里其实比较注重的是比的意义的外在表现。通过甜不甜，通过这个图像像不像？那其实是能够比较好的凸显比的意义的外在表现。

第二节课徐老师的课，老师用同类量以及不同类量分别进行比较。使学生体会比在生活中的应用。

岳博士：其实我们上一次活动已经讲了比的意义的来源有四个。我觉得描述与测量是我们人类的一种需要，如果说我们把两组数据放在这一放在一起，是否我们的学生他就会自然而然的对这两组数据进行描述？物物交换其实是一个整体与整体的一种关系，那么合成与分配是部分与部分的关系，那自然与美学现象。

潘博士：第一节课，我们用到了这个古代的这个兵器，然后为什么叫青铜器？青铜器你那个铜和稀的之间的这个比例不同，你得到的这个武器他的性质是不一样的。我们上课老师说，这个硬度和柔韧度什么都一样的，对吧？然后还有第二节课大量的史料也都能体现出比在古代其实是有广泛应用的这些材料。

两位博士在点评的时候都提到了史料太多了，都堆在一节课，应该从单元的视角下适时有效的选取非常恰当的材料使用。

听了两位授课老师以及几位专家的点评之后，我也有自己的思考：我们教师一定要对教材进行研读。把一册、一个学段都进行一个框架的梳理。对每一个单元都进行整体设计，一定要梳理史料，恰到好处的使用史料。

收获很多，浅谈如下：

吉林团队的郭老师《比的认识》一课，教师从蜂蜜水的甜度引入，“画一画、算一算蜂蜜和水之间的关系”；“要想甜度不变，还可以怎样配比”；“保持甜度不变的关键是什么”（核心问题，渗透了谁随谁变的函数思想）；“要想更甜，怎么配比”（谁不变，谁怎么变，变式延伸）。开课即高潮，学生的思维被激活，兴趣被点燃。之后“照片中的比”，“像的原因是什么？”，“请生画像的长方形”。学生对比的理解步步提升，学习活动有层次有条理有目标地推进。史料的引入也很自然，如果比不是1：1时，能不能测量金字塔的高呢？灵活的设计培养了学生们灵动的思考力。生活中的比与数学上的比，对比中理解差比和倍比的不同。

除了课的设计出彩之外，郭老师的教学能力也可圈可点。整节课在问题引领下和学生完美融合，每一次点拨都恰到好处。整节课教学行云流水。

第二节课启东徐老师的教学在数学史的引入上比较成功。从古钱币的铜铅比开启整节课的“考古”教学。郭老师在反思中提供了丰富的比的发展史，大大拓宽了我的眼界。

专家交流环节，潘博提出：数学史的引入原则，一是抓概念的本质（如不同的兵器硬度和锋利程度，取决于金属的不同配比），二是比的发展历程(历史上比的发生和发展过程)；数学史的教学，应基于单元整体教学，逐步使用，不必心急，步步为营地呈现给学生一幅幅历史画卷，更符合孩子的认知；数学史在教学中引用，可以显性引用（直接引用史料），也可以隐性引用（沿着概念发展的历史脉络展开教学）。

关于“比”，这次活动带给我新的思考：比不仅是一种关系，是倍、是份数、是配比，比还是“（蜂蜜）甜不甜？（照片）像不像？（武器）硬不硬？”的数量描述。深以为然！

“比”的意义主要来源于描述和测量、物物交换、合成与分配和自然与美学。我们在教学中常常与生活中联系较为紧密的“合成与分配＂的意义作为比的导入，比如郭老师用了配蜂蜜水的例子，徐老师用了古代“秦半两” “汉半两”的例子。这样的例子很多，我认为选择贴近学生生活的例子就好。例如，陕西有名的擀面皮，街边小店那么多，如何能吸引到顾客，配的调料汁与众不同，口味更好才可以。我们常见“秘制配方”就是这个因为里面的调料种类和量有所不同。小明爸爸调了一种“秘制配方”里面其中辣椒2勺、醋放3勺。但现在有连锁店或大批量生产的需求，怎么办？这个问题的抛出是希望引发学生思考比的含义以及学习比的必要性。

岳博提出的从“武器”到“钱币”的思路是让学生理解配比改变带来的巨大变化的非常好的思路。

关于物物交换，我想我们在奖励学生时用5朵小红花兑换一个贴纸印章就是学生所熟悉的蕴含了比的含义的实例。

自然与美学方面，我们教材中在用字母表示数这一节中用了“一只青蛙一张嘴，两只眼睛四条腿”的儿歌，如果在比的这一节重提这首儿歌，是不是有助于加深比与函数的关系渗透，而且还能拓展连比的形式,进一步让学生认识到比与除法的不同。

当然，以上只是我想到的一些相关例子，我觉得更重要的是需要思考如何能很好的很恰当的这用这些例子助力我们的课堂。潘博士说，对“比的意义”的渗透不能的在一节课上，而是要注重单元教学。这点我十分认同，所以在一节课中，我们不应是多个例子的堆砌，而是要抓住这一节课我们希望学生能理解到比的某一特点而深度挖掘材料。关于这一点，我觉得自己还缺乏深入的思考。希望在跟随岳博潘博学习的路上慢慢体会和感悟。

今天的两节课“比”教学和研讨，让我们对比的认识和教学有了更深的理解。郭老师的课堂从蜂蜜的质量与水的质量比及图片中的长与宽的比来认识比和理解比的含义，特别是蜂蜜的质量与水的质量中变中有不变，这样的设计特别好，充分利用情境深入讨论和对比，感受比的恒定关系，教学层层递进。徐老师的课堂从史料中的关于比的“合成与分配的需要”探究同类量比的倍数关系和不同类量的比（产生新的量），借助情境让学生认识比和理解比的意义，两节课各有特色，也带给我们不同的思考和收获。

探讨中关于比的认识对我们的教学有很大的帮助。比的存在：1.描述与测量(人类的本能)；2.物物交换（整体与部分的关系）；3.合成与分配（比的恒定关系）；4.自然与美学现象(部分与部分的关系)。比的意义的外在表现：稳定的关系。在实际教学中，怎样实现比的存在的数学刻画与比的意义的外在表现的统一，岳博给了很好的建议，比是一种数量关，不是除法运算，只是在求比值时才要用除法；比是为比例做准备，并可以扩展为一种变量之间的正比例函数关系。这种比例关系，其含义远超“除法”，“比”原本是同类量的比较关系，但是也可以推广到不是“同类量”的情形不过，同类量之比是“源”，不同类量之比只是“流”。关于比的知识与教学，看似简单，其实意义深远，以史为鉴，了解比的“源流”，我们的教学会更有意义，学生学得更有价值！

本次活动首先由吉林市的郭佳乐老师进行了《比的认识》的课例分享。郭老师在引导孩子认识“比”时，首先从原概念、份数、倍数等不同的角度出发来认识比；然后借助生活中常见的人数比、面积比测量时物高与影长的比等情景，引导学生从各个角度来理解比的意义；最后，借助对速度、价格等常见数量关系的分析，认识不同类量的比，逐步抽象出比的意义，理解并表示事物之间的关系特性。郭老师借助生活情境将抽象的概念置于真实的情境之中，同时精选历史素材，促进学生不断加深对比的意义的理解，为后面的学习奠定了良好的基础。

陈金飞名师工作室的徐佳颖老师进行了《比的意义》的课例分享。徐老师借助“秦半两”和“汉半两”铸造时的铜和铅重量的倍数关系，让学生感知同类量比的意义。接着徐老师又通过“在古钱币中加入锌这一成分”的情景，让学生体会到工业中制作合金等过程，我们更加注重的是两者之间的关系，而不是一个最终的数字或者计算。尤其是有三者或者更多的东西时，我们用比能说明他们的关系，但是用一个单纯的除法算式和数值是无法表示出来的。由“两个量的比”延伸到“三个量的比”，很好的体现了“比”可以表示几个量的关系这样一种特有的价值。

最后，潘博对今天的两节课进行的分析，对后续的教育而提出了指导性的建议。我们在教学比的认识是可以放慢脚步，先认识同类量的比，然后让学生在此基础上再认识不同类量之间的比，像路程、速度和时间的关系，学生在生活情境中自然而然的就深刻理解了比的意义。最后潘博也对数学史资料的选用也提供了思路，我们选择的材料一定要让学生好理解，越是简单的数据学生越容易理解，一定要让HPM的实施立足于学生，真正做到激发学生的兴趣，拓宽学生视野的目的。

首先是郭佳乐老师带来的比的认识一课。郭老师的课是围绕着三个层次来进行的，第1个层次是初步认识比，第2层次是进一步理解比的意义，第3个层次是认识不同类量的比。在第1个层次里，郭老师用调配蜂蜜水让学生初步理解了比的含义，接着她抛出了问题，如何调配更多甜度不同的蜂蜜水？初步感受比表示两个量之间的一种关系。接着她用调配甜度变化的蜂蜜水，感受比的价值。第2个层次是多元表征，深入感悟比的意义，郭老师选择用了画图和数格子的方法，让学生进一步的理解了比的意义。在说一说比的含义里，除了人数、面积，郭老师引入了数学史中的青铜器合金的比和测量金字塔高度，引入数学史的内容帮助学生进一步的理解了同类量的比。第3个层次郭老师，联系了不同意义的比，逐步丰盈了比的本质，用跑马拉松人的速度和骑车人的速度作为切入，让学生了解了不同类量的比。

接着是徐佳颖老师带来的比的意义一课，她以探索秦半两的成分作为比的意义一课的探索。用不同成分的比铸成的物品会不同，让学生搞清了同类量的比。接着，用工人甲和工人乙的工作量和时间进行切入，介绍了不同类量的比。整个课的教学主线，是非常的清晰的：先给出同类量的比的定义——再抽象成数的比——最后再引出非同类量。这也符合了历史发展的顺序。

听了潘博的点评我有以下一些感触：

1. 数学史选材要具有文化价值及体现数学本质。这两节课数学史的选材都恰到好处。秦半两，让学生知道古人也是广泛使用铜、锡这些化学成分的，能让孩子去了解古代科学技术。选材要能够体现数学学文化特征，或者一些数学成果核蕴含的一些数学思想。

2. 融入方式要能够引发思考。例如秦半两，介绍铜和锡的这种比例其实也能让孩子扩展视野：随着铜的比例下降，它的坚硬度就也在下降，但韧性是增强的。这其中也蕴含着一种函数思想。

3. 要立足于单元视角下逐步的融入。可以显性的融入，直接引入史料。还可以不出现史料，但是按照历史发展的顺序，进行重构，这也是隐性的融入。

每次学习HPM，就越了解数学的本质，更加了解了每一个数学概念到底是怎么来的。更爱数学了。努力加油。

在第一堂“比的认识”中，老师从多角度让学生们认识比，了解比的意义，再通过速度路程时间、总价数量单价等生活经验，进一步理解比的意义；接着通过调制蜂蜜水得知，只要比的大小不变，无论水和蜂蜜的数量如何变，蜂蜜水的味道都不会变化，这就说明比是表示两个量之间的关系。此外，学生对于比分和比的区别是比较模糊的，比分是两个量相差多少，而我们学习的比是两个量之间的除法关系。最后通过多维探究，发现比可以比较相同量之间的关系，也可以比较不同量之间的关系。

从多方面引入在比的认识中数学史，蜂蜜水、青铜器的金属组成、金字塔阴影与高度的比等内容都可以从比的认识方面入手。“比”源于度量，度量解决了物体可度量的属性（长度、面积、体积、质量等）的可比性，“比”却能解决物体不可度量的属性（颜色、形状、质地等）的可比性，这才是比的本质。度量的四个本质属性：选定标准（单位）；用单位去量，所得的度量数非负；运动不变性；有限可加性。从同类量比较推广，同类量比较是源，再推广到不同类量的比较，这就是流。从数学史源流的角度更好的定位比的教学，此外将数学史料有序融入了课堂教学，在不同的举例中验证比的意义和出现的价值。

在第二堂课“比的意义”中，徐老师从钱币入手，发现了秦半两钱币的金属工艺配比是近似呈倍数关系的，并发现重量可能是变化的，但金属之间的倍数关系是相同的，这就引入了同类量之间的倍数关系。在学生自己创造比的写法后介绍数学史莱布尼茨创造比的符号，发现与除法之间的关系，是多种物体之间的关系。再通过比分进行反馈和思考，从比拓宽到比分，最后再利用工人做工的单位时间内的完成量之间的比，也就是引出了不同类量之间的比。

比主要在描述与测量、物物交换、合成与分配、自然与美学这四类问题中呈现，我们要判断比是否都是比分时，我们需要从深层意义进行探索和发现。岳博说“要实现比的存在的数学刻画与比的意义的外在表现的统一”，关系才是比的内容和本质，除法和分数只是比的形式和现象。

关于比的认识和分析我们在这两堂课中领悟了很多，如果尝试用物物交换引入，学生也许能够理解，将总量进行确定，那么物物交换之间也就变成了对一种主体的分配，再从物物交换到单价之间的变化，也就实现了从同类量到不同类量的比的转变。但要在课堂中融入历史、重构教学会有一定难度，需要我们大量阅读史实材料，从中摘录出能够为我们所用的例子，并且这些例子如何引入的不突兀，又能够很好的契合课堂教学，这也是对我们不小的考验。

这次研修还是关于“比、比例”的专题研修。两位授课老师都能从同类量之间的比——数之比——不同类量的比有层次的让学生感受了比的意义。让学生感受比赛中的比分和数学中的“比”的不同，让学生通过实例找规律，丰富经验，领悟概念的本质意义。

几位专家的点评和史料分析，我对“比”的意义来源更清晰，主要来源四个方面（也是比存在的意义）：1.描述和测量的需要；2.物物交换的需要；3.合成与分配的需要；4.自然与美学现象。同类量之比是比的概念之“源”，非同类量之比是“流”。

就像潘博士说的，比的认识和数学刻画需要放慢让孩子去感受。在教学中多让孩子通过历史素材、生活实例等去感受比，在头脑中刻画比，理解比的意义。

今天的学习让我有以下几点收获和感悟：

1、“比”和“比例”的本质，尤其是比的本质，我们往往把比和除法划等号，或者说通过除法去定义比，实际上这两者本质完全不同，除法是一种运算，追求的是结果，而比表示的是一种关系，有同类量和不同类量的类，比的结果是通过除法来计算的，也就是比值。只有搞清楚了这两者的区别，才能更好地把握本节课的核心。

2、数学知识从生活中来，到生活中去。郭老师从蜂蜜水这个学生熟悉的素材出发、到照片长宽比、男女生人数比、转盘面积比等，使学生体会到了比的表象意义，从而有了自己的理解，为后续的学习奠定了基础。

3、史料的融入。不再是简单的附加式，而是作为素材融入式，学生分析史料素材，理解比的本质意义。而且这些素材的使用也让我们的数学课堂变得更加丰富更加有意义，学生对比古今，感受到数学学习的共性和知识的一致性。

4、丰富的素材体现比的不同意义：描述与测量、物物交换、和合成与分配、自然和美学。

个人的一些思考：

1、物物交换这个意义可否从学生熟悉的生活情境来出发。例如我日常根据学生的表现进行盖印章，然后5个印章换一次特权，10个印章抽一次奖，那么我们可以抛出问题：淘气想抽5次奖，需要多少个印章？这样学生是否更好理解两个量之间的这种关系？

2、两位老师都应用的大量的素材，史料部分融入很多，但对学生来说，是否能够全部理解接受？可否从大单元的角度进行整合，有侧重点地进行学习？