专业共读——济源李杰小学数学工作坊读书心得（第8期）

浅谈教学中的数量关系运用

王屋小学  牛浩

“数与代数”这一学习领域可分为“数与运算”和“数量关系”这两个主题，本周阅读的主题是数量关系运用的教学。

《数学课程标准（2022版）》指出：“数量关系”主要是用符号（包括数）或含有符号的式子表达数量之间的关系或规律。学生经历在具体情境中运用数量关系解决问题的过程，感悟加法模型和乘法模型的意义，提高发现和提出问题、分析和解决问题的能力，形成模型意识和初步的应用意识。由此可见，数量关系主要用于解决问题，这类问题可以分为两类。一类是涉及到一些简单的、固定的、常用的数量关系的问题，例如速度×时间=路程，单价×数量=总价等；还有一类是稍复杂的、要根据题意具体问题具体分析的数量关系，这类问题往往根据数量关系来列方程解决更简单，更容易理解。

在此，我主要研究的是第二类问题。结合六年级上册的知识，在《分数除法》中，分数除法的应用里多次涉及到了数量关系的应用，尤其是“已知比一个数多（少）几分之几的数是多少，求这个数”这类题，如上图。若采用算术法来思考，需要先想“她的体重比爸爸的体重轻”也就是“他的体重是爸爸的”，由此转化为“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”，可以用算术法解决，也可以采用方程法解决。这种方法需要逆向思考，比较抽象，思维难度大。但是如果先列出数量关系：爸爸的体重×（1-）=小明的体重，然后设爸爸的体重为未知数，利用方程法解决。这种方法符合顺向思维的思路，学生更容易理解。这种思路对于解决这类问题都是迎刃而解的。

由此可见，数量关系的运用可以帮助学生建立建模思想，使学生经历从具体的现实情境中抽象出一般的数学问题解决思路，能够选择和运用相关的数学知识解决一般问题。

分析数量关系是“解决问题”中不可缺少的一步，小学生解决问题是就是将事情的数量关系概括、抽象成数学问题的过程。在分析数量关系的时候我们可以借助画图的方式来更有效的进行分析。

对于低年级学生，识字量少，注意力集中时间短的特点，教师在教学过程中往往让学生通过圈一圈、画一画的方式来分析数量关系，这样直观易懂，为低年级学生的理解提供了方便。

例如：一年级的加减法概念教学，排队问题，都通过画圆圈图，让孩子容易接受且感兴趣，并能举一反三通过画图来解决这类问题，同时也无形中感受到了数形结合的思想。

一年级上册排队问题：小丽排第10，小宇排第15，小丽和小宇之间有几人？

二年级上册加法和乘法的解决问题，通过画图就很清楚分辨是4个5相加还是把4和5合起来，从而能正确选择加法或乘法解决问题。

二年级上册“求比一个数多几”的解决问题：一班得了12面小红旗，二班比一班多得3面，二班得了多少面？

画图是学生对于数量关系的一种表达，在画图过程中，学生对知识进行直观感知，通过提炼加工信息、梳理思路，能对问题进行创造性的解决。高年级学生往往不愿画，或者说有时是不会画，低年级的孩子又喜欢“画”，所以，要从一开始就要让学生养成通过“画图”来表达的习惯，要让学生学会“画图”的能力。

本周阅读了“数量关系运用的教学”这一节，书中指出借助于数量关系运用的教学，使学生经历从具体的现实情境中抽象出一般的数学问题，并选择和应用相关的数学知识解决问题的过程。帮助学生感受数学学习的现实意义，体验数学抽象的必要和艰难，感悟渗透其中的数学建模的思想。帮助学生通过发现事物数量关系及其各种不同的转换路径和思维策略的选择，通过对数量关系从简单到负责再到特殊的逻辑系统的学习和思考，把丰富的体验和认识转化为自身的逻辑推理发展和提升思维品质的力量。

数学课程标准指出：数学是研究数量关系和空间形式的科学。“数量关系”主要是用符号（包括数）或含有符号的式子表达数量关系或规律。学生经历在具体情境中运用数量关系解决问题的过程。

数量关系的教学，通过创设简单的情境，提出合适的问题，引导学生发现数量关系；利用画图、实物操作等方法，引导学生用学过的知识表达情境中的数量关系，体会几何直观，形成初步的应用意识。常见的数量关系有：总量=分量+分量、总价=单价×数量、路程=速度×时间。

例如本周学生正在学的五年级上册《简易方程》中的实际问题与方程。学生需要读完题后，联系生活实际理解题意，抽象出其中的等量关系，也就是谁和谁存在着相等关系，列出等量关系式。只有学生能够准确找到其中的等量关系式，才能够列对方程。因此教学中，我首先让学生先列出等量关系式，再根据等量关系式列出方程。尤其是最后一个例题行程问题，其中的关系比较复杂，两次运用路程=速度×时间，最后还需要将两个路程相加等于总路程，数量关系之多，导致后进生理解起来混乱，列方程时容易出错。因此让学生准确列出数量关系是非常重要的。

在教授相遇问题和追及问题时，让两名学生上台演示行走状态，通过问题引领，让学生跟着老师的问题进行思考，得出两人之间路程存在的关系。引导学生总结出同类型的等量关系式。

如果学生不会找出其中的等量关系，就无从着手，就不会准确列出方程。如果学生能准确列出等量关系，只需将数量等效替换，将数字和未知数写到对应量下面。就能准确列出方程。

从解决数学问题的认知过程来看，学生要先在具体的情境中抽象出数学问题，再通过模型的建构掌握数量关系。模型的建构是区分学生水平的环节，教师应在教学稍复杂的数量关系时，结合基本数量关系和常见数量关系建构等量关系模型，帮助学生抓住问题本质，进而建构解决问题的模型，提高学生解决问题的能力。

上周学校进行了期中阶段质量调研。个别同学解决问题出错率非常的高，错误原因大多都是他们并不能正确地分析题中所给的数学信息之间的数量关系，存在把数学信息随意运算的现象。这引起了我的一些思考。

一、作为教师，应该从低年级开始，就有意识地培养学生对简单数量关系运算的学习和思考能力。因为简单数量关系是其他数量关系构成的重要基石，所以必须注重低年级的坚实的基础，否则到学生到高年级遇到复合数量关系运算时，就会更加无从下手

低年级主要是培养学生对简单数量关系的认识和问题解决为主，如果教师只是单纯的针对某个知识点而进行大量的练习，容易导致学生思维定势，出现看解决问题中的关键字选择运算方法的现象。例如求“一共”、“原来”用加法；求“还剩”“谁比谁多（少）”用减法。在某些题中，学生可能准确率比较高，但在碰到综合各种知识点的练习中就经常出错，或者不知如何做。如何在低年级培养学生对数量关系的运用呢？我觉得还是应该在具体的情境中，让学生感悟和理解，然后进行适当的抽象和提升。教师在日常教学中要结合加减法运算意义和认识的教学，逐步渗透每一种基本的数量关系，创设情境，帮助学生理解每个具体情境中的数量关系。教师要多问：这道题你是怎么想的，为什么用这种方法解决？引导学生多感悟多表达不同数量关系运算的意义。让学生从数量关系的本质出发，在碰到应用题时，能正确分析出题中数学信息之间蕴含的数量关系，我相信一定会提高解决问题的准确率。

二、在日常教学中渗透数量常见数量关系，培养学生模型思想。

2022年数学新课程标准中提到“在具体情境中，认识常见数量关系：总量=分量+分量、总价=单价×数量、路程=速度×时间”；能利用这些关系解决简单的实际问题。

学生虽然是在四年级上册才开始学习数量关系式：单价×数量=总价，但是在二年级学完乘法的意义之后，教师就可以有意识的去引导学生从实际问题情境中探索隐含的数学模型，然后去解决数学问题。