初二数学：利用轴对称求解【最短路径】问题

一、知识重点

1、最短路径问题

(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．

(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．

2、运用轴对称解决距离最短问题

运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同．

3、利用平移确定最短路径选址

解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题．

二、经典例子解析

【例一】有两棵树位置如图，树脚分别为A，B.地上有一只昆虫沿A—B的路径在地面上爬行．小树顶D处一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶C处，问小鸟飞至AB之间何处时，飞行距离最短，在图中画出该点的位置．

解：如图，作D关于AB的对称点D′，连接CD′交AB于点E，则点E就是所求的点．

【例二】如图所示，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时点C是直线l与AB的交点

解：如图，

【例三】如图所示，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短。

解：先作点B关于直线l的对称点B′，则点C是直线l与AB′的交点．

为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，

证明AC＋CB＜AC′＋C′B.

如下：

证明：由作图可知，点B和B′关于直线l对称，

所以直线l是线段BB′的垂直平分线．

因为点C与C′在直线l上，

所以BC＝B′C，BC′＝B′C′.

在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，

所以AC＋B′C＜AC′＋B′C′，

所以AC＋BC＜AC′＋C′B

【例四】在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小

解：如图，

作点B关于直线l的对称点B′；

连接AB′交直线l于点M.

则点M即为所求的点．

【例五】如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水。

(1)若要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？

解：如图1，取线段AB的中点G，过中点G画AB的垂线，

交EF于P，则P到A，B的距离相等．也可分别以A、B为圆心，以大于1/2AB为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线，与EF的交点P即为所求．