【高二】选择性必修一第3章§3.2.2第1课时双曲线的简单几何性质【新高考高中数学】

学习目标1.掌握双曲线的简单几何性质.2.理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程.

一、双曲线的几何性质

问题1类比对椭圆几何性质的研究，探究双曲线－＝1(a>0，b>0)的几何性质．

提示1.范围

利用双曲线的方程求出它的范围，由方程－＝1可得＝1＋≥1，

于是，双曲线上点的坐标(x，y)都适合不等式≥1，y∈R，

所以x≥a或x≤－a;y∈R.

2．对称性

－＝1(a>0，b>0)关于x轴、y轴和原点都对称．

x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心．

3．顶点

(1)双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点.

顶点是A₁(－a,0)，A₂(a,0)，只有两个．

(2)如图，线段A₁A₂叫做双曲线的实轴，它的长为2a，a叫做实半轴长；线段B₁B₂叫做双曲线的虚轴，它的长为2b，b叫做双曲线的虚半轴长．

(3)实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线．

方程为x²－y²＝m(m≠0)．

4．渐近线

双曲线在第一象限内部分的方程为y＝，

它与y＝x的位置关系：在y＝x的下方．

它与y＝x的位置的变化趋势：慢慢靠近．

(1)双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x.

(2)利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图．

5．离心率

(1)定义：e＝.

(2)e的范围：e>1.

(3)e的含义：因为c>a>0，所以可以看出e>1，另外，注意到＝＝＝，说明越趋近于1，则的值越小，因此双曲线的渐近线所夹的双曲线区域越狭窄．