小学四年级是数学学习的“生死线”

在最近几年里，因为做课程建设和推广的缘故，我对小学数学教学的现实状况有了越来越多的了解。由于家长群体对数学的学科特点和数学教育的认知不足，因而在引导孩子的数学学习上犯了不少错误，而且面对教育界的各种骗子花样百出的忽悠，他们就像老人家无法抵御保健品的诱惑那样，陷阱踩了一个又一个，而且踩得乐此不疲。花了很多冤枉钱不说，最可怜的还是孩子，尽管付出了大量的时间精力，不会做的题目却越来越多，学好数学的希望也逐渐转变为失望，然后是绝望。

关于数学学习的一个很普遍的认识错误，是不重视小学中低年级的学习。家长犯这样的错误也是很可以理解的，因为站在成年人的角度来看，这个阶段的学习内容大多数是基本的常识，比如数数和简单的四则运算。何况，就难度而言自然是后续的学习内容更大。少数鸡血型的家长从幼儿园甚至更早的时候就开始张罗着送孩子去学数学，也并非说明他们重视早期的学习。他们只不过是想让孩子“赢在起跑线上”，在学习进度上领先于其他孩子。事实上，这种“抢跑”式的安排往往用更短的时间来完成早期“简单的学习内容”，因而更容易忽略掉一些重要的训练。

在我看来，在长达十多年的数学学习过程中，最开始的几年才是最关键的部分。虽然在时间长度上只占大约三分之一，但所起的作用却至少占了八成，是名副其实的“黄金期”。只要在这个阶段做好了该做的事情，做对了该做的事情，后面就不存在实质性的困难——当然，适量的时间精力投入还是必要的。反之，就会像大多数人对数学的感觉那样——越学越难，越学越没信心，越学越找不到方向。时间投入不断增加，成绩却不断下滑。

对大多数人来说，数学是一个神秘的学科，因而也就不了解她的一个独特之处——丰富的思想方法。表面上看，包括数学在内的不同学科，各自有自己的知识体系和思想方法。然而，其他学科的思想方法是附着在知识体系之上的。尽管掌握这些思想方法确实有助于更透彻地理解知识体系，但无视这些思想方法也只是减损我们对知识体系的理解深度，而不影响我们了解知识体系。特别是考虑到国内的考试更多地关注学生对知识的了解而不是理解，所以很多学生仍然可以通过花费更多的时间死记硬背来获取高分。

数学相对于其他学科的独特之处，不仅在于她的思想方法丰富得多，而且她的思想方法并非附着在知识体系之上，而是承托着知识体系。换句话说，思想方法是数学的学科核心。遗憾的是，由于很多主观和客观因素的影响，我们的教学体系始终没有重视这个核心。学生们从头到尾都只是在依葫芦画瓢地模仿老师总结的解题过程，以及努力了解尽可能多的技巧。大多数人从未尝试理解这些解题过程，也说不清楚为什么这道题适合用这个技巧，那道题就要用另一个技巧，而只是在解题时近乎盲目地做一些尝试，希望能幸运地尽快碰上一个正确的技巧。于是，解题就成了一个“瞎猫撞上死耗子”游戏，而难度越高的题目就像在越大的范围内去撞一只死耗子。

数学是一个很古老的学科，她的内容源于现实世界，同时又具有符号化和抽象化的特征，两者自然地融合统一在这个学科中。然而，它们在教学中却很容易被对立起来。数学的有形之处是各种数学符号、运算、公式和定理，这也是课堂教学的学习内容。数学的无形之处是对现实世界的观察、思考和总结，它们看不见摸不着，只能用意识去理解，而且“言传”的难度还更高于“意会”。因此，大多数老师只有教“有形”数学的能力，因而学生学的也就只能是缺胳膊断腿的数学，这是导致数学学习困难的一个重要根源。

课堂教学被“有形”数学占满，几乎没有“无形”数学的立锥之地，这个现实直接导致了刷题和套公式的盛行。一方面，老师没有能力把“无形”的数学传授给学生；另一方面，老师又要努力教会学生解题。一个不难想到的办法，就是总结出各种形式套路，让学生依葫芦画瓢地模仿。在既定的现实前提下，这也不失为一个“聪明”的招数，确实能起一些效果。然而，由于学生并没有真正理解隐藏在套路背后的本质，在解题时就可能会用错套路，或者在生搬硬套的过程中出现各种丢三落四的问题。于是，为了提高使用套路的正确率，就需要再打补丁——大量刷题。

这种教学方式，就像教孩子弹琴时只练指法技巧，教孩子画画怎样才能画得像。最终孩子确实能弹几首悦耳的曲子，能画出几幅赏心悦目的画，但离懂音乐和绘画还差了老远。唯一的好处是家长满意了。站在家长的角度来说，他们并不在意孩子是不是懂艺术，他们在意的是孩子能拥有一项才艺。同样，他们也并不期望孩子懂数学，而只是希望孩子能在考试中获得一个足够满意的分数。

明白了家长的立场，也就不难理解为什么有这么多人呼吁向美国学习，降低数学的学习难度，甚至曾经出现“让数学滚出高考”的极端言论。

孩子在进入这个扭曲的教学体系后，遇到的第一个障碍是对最基本的数学概念的认知，例如“自然数”的概念和加减运算。

教孩子认识自然数的意义，应该使用相应数量的小石头（或其他物品），而不是弯来扭去的数字符号。诸如“3+5”、“12-9”等算式，成年人已经习以为常，不存在理解困难。可是在孩子眼里，它们却是神秘而难以理解的涂鸦。即使他们已经能够把“1”和“2”这两个符号的意义理解清楚，也还需要一段时间才能把“12”这个符号自如且准确地转换为其所表示的数量概念。

然而在教学实践中，首先是过快地进入符号计算的训练，不少孩子还没能理解好一堆数字符号的意义，就被推入高要求的准确率和速度训练中。紧接着，老师又迫不及待地开始教进位和退位，并且发明了好几个似乎很高明的规则来帮助孩子做计算。于是，孩子们只能痛苦而无奈地把那些数字符号小心翼翼地在纸上搬来搬去，生怕哪一步一不小心就会出错。对计算结果进行验算时，他们也只是把刚才的那些搬运过程重新做一遍。

遭遇第一个学习障碍时，孩子还处于对数学一无所知的完全空白阶段，我称之为数学启蒙阶段。由于所涉及的都是最基本的数学概念和认知，与客观世界和日常生活的联系非常紧密；同时，处在这个年龄阶段的孩子，逻辑和抽象能力还很弱。因此，我建议在数学启蒙阶段避免使用数字和运算符号进行纸面练习，而应当尽量用实物表示数量，多用口念数字而不是用笔写数字。

第一个障碍的本质，不是认知的障碍，而是表达的障碍。自然数和加减法，在现实世界中有无数的实例可以感知，所以不存在难以认知的问题。孩子在学习中遭遇的困难，是使用特定的符号和运算规则去表达这些概念。接下来孩子要克服的第二个障碍，比起第一个障碍难度要大得多。而这个障碍，就涉及了很多概念的抽象认知。不妨来看几个具体的例子。

1. 小华有8个苹果，小强有5个苹果。小华和小强共有几个苹果？小华比小强多几个苹果？

在这个题目中，小华和小强的苹果数量都是已知的。孩子只需要有数量和“多少”的概念就能列出正确的式子。

2. 小华和小强共有13个苹果。小华吃掉了2个苹果，小强又得到了5个苹果。他们现在共有多少个苹果？

这个题目正确的列式是13-2+5=16。然而这个式子不仅包含了数量和增减的概念，还需要孩子理解数量的“整体和局部”关系。具体而言，在减法“13-2”中，“2”是小华的苹果减少的数量，但“13”却不是小华原来的苹果数量。按照题目的文字表述来看，这个式子是没有意义的。我们需要把“2”这个数量的意义转换一下，即小华吃掉的2个苹果也是他们两个人所有的13个苹果中的2个。做了这样的转换以后，“13-2”这个运算就有意义了。

3. 小华比小强多5个苹果。小华吃掉了3个苹果，小强又得到了3个苹果。现在谁的苹果多？多几个？

解这个题目的第一个列式是5-3=2，表示小华比小强多2个苹果。而要解释清楚这个式子的意义，仅仅知道“多少”的概念是不够的，还需要理解“多少”的变化过程，即小华的苹果数量从“比小强多5个”变为“比小强多2个”。接下来，第二个列式是3-2=1。相比第一个式子，这个式子除了涉及“多少”的变化过程，还有从“少”变成“多”的逆转——小强原本比小华少2个苹果，得到3个苹果后变成比小华多1个苹果。

这个题目中包含的数量变化，在成年人看来只是有点绕。凭借丰富的生活经验，只要愿意静下心来仔细想清楚，要给出正确的答案应该不难。而孩子无论是对数量的认知还是生活经验都不足，如果不解释清楚确切的意义，带着模糊的认识去解题，不仅容易出现列式的错误，而且经常做错也容易打击孩子的信心，越来越不敢自己做分析和解释。

理解了数量的大小和增减的基本概念，就能用加减法对具体给出的数量进行运算给出答案，例如第1题。而在第2和第3题中，小华和小强的苹果数量都不知道，题目给出的数量变化却又是针对他们的苹果数量进行的。在给孩子做测试时，有些孩子会设想他们两人具体的苹果数量（例如第2题中设定小华有8个苹果，小强有5个苹果；第3题中设定小华有10个苹果，小强有5个苹果）。这实际上是试图回归到基本的数量概念的层面上去解题。孩子们的表现也表明他们更擅长处理具体数量的加减，还不习惯用更抽象的方式去理解数量的变化。

4. 小华比小强多5个苹果。如果小华给小强4个苹果，现在谁的苹果多？多几个？

这道题的关键条件是“小华给小强4个苹果”。从文字表达看，这是一个变化（想象一下小华把4个苹果递给小强的场景），但实际上包含了两个变化——小华的苹果减少，小强的苹果增加。为了把这两个变化都体现出来，我们改一下题目的文字表述。

4′. 小华比小强多5个苹果。如果小华的苹果减少4个，小强的苹果增加4个，现在谁的苹果多？多几个？

改编后的题目跟第3题就很像了，由此也不难想到列式求解的方法。首先是5-4=1——小华比小强多1个苹果，然后是4-1=3——小强比小华多3个苹果。

5. 小华和小强一共有12个苹果，且小华比小强多2个苹果。小华和小强各有几个苹果？

如果说第2-4题还只需要对数量概念从具体的层面上升到一定的抽象高度就能解决，这道题的要求就更高了。仅仅停留在对数量概念的理解不能给出解答，我们还需要使用特定的数学方法。为了说清楚这个方法，我们先看看下面这道题。

6. 小华和小强一共有12个苹果，而且他们两个人的苹果一样多。他们各有几个苹果？

学过除法运算的孩子都能很快列出式子——12÷2=6。因为两人的苹果一样多，所以其实就是把12个苹果平均分成两份。

现在回到第5题。因为小华和小强的苹果不一样多，所以不能像第6题那样直接把12平均分成两份。可是不用除法的话，似乎也没有其他更好的处理方法了。

我们可以确定的是，第6题可以解决，第5题跟第6题有点像，但比第5题难。既然第6题能解，是否可以把第5题转换为第6题呢？答案是肯定的！在这里，我们要引入一个应用很普遍的数学思想——“化繁为简”。

第6题的简单之处，是两个人的苹果一样多；相应地，第5题之所以难，也是因为两个人的苹果不一样多。如果我（或者不管是谁）送给小强2个苹果，小强就和小华的苹果一样多了。与此同时，两个人的苹果就不止12个，而是12+2=14个——能看懂第2题解法的孩子，应该不难理解这个数量变化。题目的条件现在转变为“小华和小强的苹果一样多，两个人共有14个苹果”，跟第6题的条件完全一致了。

第5题也正是大家比较熟知的“和差问题”，这是奥数课程中的经典题型之一。就题目难度而言，和差问题可以说是奥数最简单的题型之一。因此，在奥数课程中这类问题往往用很短的时间就讲完，甚至直接让孩子背公式解题。使用这样的处理方式，孩子似乎很快就学完了一种题型的解法，而且还解得挺溜，于是家长们就开心了。事实上，在各个数学竞赛中，可以直接套现成公式解出来的题目占的比例还是不小的。只要孩子能准确判断出题型，通过套公式就能套出一个还算不错的成绩。如果再多刷刷题，成绩还能再往上拔一拔。

然而，如上面所展现的过程，从第1题的最基本概念，经过了第2、3、4题的逐步抬升，不断加深对数量和增减概念的理解，还要再结合使用一个技巧，才能完成和差问题的求解。这个过程一点都不简单，也不是用一个公式就能替代的。不过，要充分认识到这个学习过程值得花费很多时间，需要两方面的认知。一个是教育学，帮助我们充分理解孩子，特别是低龄孩子，的成长过程，以“慢工出细活”的精神，既愿意投入足够多的精力推动孩子的成长，又能耐得住性子等待孩子生根发芽。一个是数学，理解学数学不是解题，而是学习思想方法，提高逻辑分析能力。遗憾的是，在家长群体中，具备其中之一者都难找到一个。

群体性的错误认知，其结果是数学的学科教学和课外学习妖孽横行，而且越妖的方法越受追捧——机械式的计算训练，完全不合理的准确率和计算速度要求，“琅琅上口”的背公式记套路的口诀，各种形式的超前学习，等等等等。在写这几十个字的时间里，我的心已经被紧紧地揪了好几下。每一个被数学折磨得痛苦不堪的孩子身上，都布满了各路妖怪——其中也包括了他的父母——留下的印记。

在“黄金期”内，我们要做的不是追求学习进度，也不是堆积知识量，而是给孩子铸造一个足够扎实的底子。很少人能理解这个底子的重要性，因为它就像摩天大楼深埋在地下的地基，就像参天大树扎在泥土里的根系，不显山不露水，只有内行才有识别的慧眼。

我把“黄金期”内需要做好的事情归纳为三部分。

其一，做好数学启蒙，帮助孩子顺利越过第一个障碍。在此顺便澄清一个问题，即便不采取任何措施，第一个障碍迟早也能过去，日复一日的生活实践就是最好的启蒙。这也是很多人认为数学启蒙可有可无的主要论据。可是，第一个障碍没过去，会严重影响后面的所有学习内容。比如我前面作为例子的几道题目，都是以数量和数量增减的理解为基础的。时间不等人，别说不能等到二三十岁才来学数学，哪怕迟几个月学都不行啊。君不见很多家长给孩子报辅导班的“唯一理由”就是周围的孩子都去了吗？

其二，选择适当的题目，引导孩子进行基本的逻辑分析和思维拓展训练。题目不求难，而是多关注孩子对解题步骤的理解和分析能力。训练过程遵循由易到难、逐步推进的原则，根据不同孩子的能力设定相应的训练目标。最低目标是逻辑清晰，任何一个推理步骤都要有理有据，不能含混不清。我相信，只要引导方式正确，绝大多数孩子都有能力完成这个目标。至于更进一步提升思维复杂度和逻辑分析能力，在孩子可以接受的训练强度范围内自然是越高越好。中学阶段学习的很多数学概念都有一定的抽象性，仅凭定义的文字描述很难理解其意义。很多中学生感觉数学完全学不进去，其根源都是逻辑分析和推理能力太弱。因此，小学阶段的训练实际上是为中学的数学学习做好必要的准备工作。

其三，在上述训练过程中，让孩子逐步形成主动思考和独立思考的习惯，摆脱背公式记套路的坏影响。为什么公式和套路如此盛行？因为大多数有一定难度但难度不算太大的题目，都可以总结出套路公式，直接用上去就能搞定。总结套路的工作，老师们都非常乐意承担，他们教起来也省心，而学生们省时省力，自然也非常欢迎。至于难度更高的题目，还是可以继续总结套路，只不过能用好套路的学生相对少一些而已，这也在大家的意料之中。

小学老师开了个坏头，用最省事的方式完成了教学任务，拍拍屁股走了（特别声明一下，我并非专一谴责小学老师，毕竟老师也不是神，他们有他们的不能承受之重。我只是叙述现实的状况）。中学老师接手以后，面对着一帮子思维能力低下、习惯了用套路的学生，即使“有心杀贼”，也无力回天，只好把套路进行到底了。再到大学老师接手，……此处容我省略三千字心路历程。

相信很多人都听过这样的说法：养成一个好习惯需要三年，养成一个坏习惯只需要三分钟。人性的弱点，决定了坏习惯通常都具有很大的诱惑力。用套路解题看起来效率很高，而且对学生的能力要求也相对低，并且也确实对教学大纲范围内的大多数题目都有效。甚至，大家评价一个老师是否“名师”，也是以总结套路的能力为依据——总结得好，学生用起来就更方便，也不容易出错，还能解出更多的题目。

得到了这么多好处，大家似乎也不介意接受这种方式的也许是唯一的害处——没有培养学生真实的能力，其结果就是那个我们耳熟能详的词“高分低能”。套路就像毒瘾一样，一旦沾上了就很难戒掉。用惯了套路的学生，很难再有决心和毅力通过自己分析和思考来解题。每当遇到不能用原来的套路解决的题目，他们总是忍不住去寻找新的套路。

在以上三个部分中，前两者只关乎数学这个科目的学习，而第三部分对孩子的影响是全面而长远的。我想，这也是数学这个科目被放在和语文同等重要的地位的最根本原因。我们可以不要求很多人具备丰富的数学知识，但每个人都应有基本的是非判断能力和正确的逻辑推理能力。

我把“黄金期”的结束时间定在小学四年级前后，是基于两个考虑因素。一方面，从三年级开始，数学的学习内容对孩子的抽象理解和认知能力要求就逐步提高了，具体表现为“难题”的数量逐渐增加。如果孩子的相应能力没有跟上学习内容的推进速度，做不到用自己的分析来解题，唯一的选择就是使用套路。另一方面，使用套路会上瘾，用上两三年以后，戒断的难度已经相当大，大多数情况下是越陷越深。事实上，套路的诱惑是一直存在的，即使在早期能够成功抵制住，随着学习难度的不断增大，面对现实压力也随时会“晚节不保”。当然，我们最应该警惕的，还是从一开始就上了套路的瘾，这个危害性是最大的。

如果未能在“黄金期”内完成必要的能力培养工作，后续的数学学习将越来越被动，孩子所承受的压力也将越来越大。从这个意义上说，“黄金期”的结束时间同时也是一条“生死线”。当然，这条线的具体位置并不绝对，只是一个大致的参考坐标。实际上，最理想的规划应当是在二年级和三年级按部就班地开展训练，用两年时间可以确保达成最基本的目标。到了四年级才开始动手已经偏晚了，不仅训练时间变得很紧迫，而且引导孩子的难度也大得多。不过，如果能拿出“亡羊补牢”的决心和勇气，补救成功的可能性还是比较大的。时间再往后推移，恐怕就只能是“谋事在人，成事在天”了。

根据我亲历的几个案例，错过了“生死线”的孩子，再要回头来做思维训练是非常困难的。对于简单的题目，他们只愿意使用自认为很方便的套路，却又无法解释清楚解题步骤的确切意义；对于难度稍大的题目，他们又找不到方向，对着题目发呆，即使一步一步地提示引导，整个过程也非常艰难，他们脸上的痛苦表情，时常让我联想到瘾君子们在戒毒时所受的折磨。

数学之难，主要不在其自身，而是我们用错了学习方法，入了“魔道”。唯一正确的解决方案，只能是回归到“正道”，而不是指望着降低要求——考试的分数高了，数学还是没学好。当学习只是为了换取试卷上有一个好看的数字时，学习还是学习吗？