深度好文：小学数学应该学什么，怎么学？|教你学

作者：昍爸  

来源：昍爸说数学与计算思维

导读：这篇文章从酝酿到最后成文前后经历了两个月，修改了好多版。很多人都不清楚小学数学应该学什么，怎么学？这篇文章将带你深入剖析这一问题，告诉你孩子在小学阶段最应该建立起来的核心数学能力。文章约7000字，若能沉下心阅读，必有收获。

小学数学，或者更宽泛一些，中小学数学到底应该学什么，怎么学？

请先思考5秒种，再往下读！

你的脑海里有没有浮现出下列场景？

（1）背了好久的九九乘法表；

（2）总有出错的竖式计算；

（3）经常忘记除以2的三角形和梯形面积公式；

（4）恼人的单位换算；

（5）总也标不对位置的小数点；

（6）经常跳坑的应用题。

如果有，那你属于绝对有必要读本文的对象，请直接往下读。如果没有，请在留言区补充后继续往下读。

数学学习的几点经验

我小时候学数学，很少有人教套路。不少人问我为什么高考数学能得满分，有没有什么经验。我总结了以下几点。

(1)   重视基本概念

学好数学，搞清楚基本概念非常重要。其实，基本概念的重要性不仅仅是在数学领域，在整个科学领域都一样重要。

已故的南大计算机系泰斗级人物徐家福先生就非常强调基本概念。他每次给学生做讲座，都要强调“基本概念、基本概念、基本概念！” 没错，每次他都会重复三遍。

欧几里得的平面几何奠定了西方公理化方法的基础。公理化方法是“从某些基本概念和基本命题出发，根据特定的演绎规则，推导一系列的定理，从而构成一个演绎系统”的方法。欧氏几何的数学大厦就是由基本概念（包括基本概念、基本关系）、公理、演绎规则和定理构成。其中，基本概念居于重要的位置。

很多数学问题，其实最终考察的是对基本概念的理解程度。但有些人却在基本概念和定义都还没有搞清楚的情况下，就去追求公式记忆和快速解题，这就有点本末倒置了。

这里列举几个例子。

比如，提到圆，很多人都会立刻想到圆的周长和面积公式，而往往忽略了一个最重要的性质，即圆上的任何一点到圆心的距离都相等。

再如，高中时学的椭圆和双曲线，很多人都侧重于去记住椭圆和双曲线的代数方程。但是除了方程之外，这些曲线还有它们的几何意义。许多时候，这些几何含义往往可以成为解决问题的利器。

 

（2）重视结论背后的原理

我自己学数学，很少刻意去背公式和记结论。自己不理解的结论，很难记住，即便一时记住，也容易忘记或记错。

比如小学低年级的植树问题、乘法分配律，我肯定会通过数形结合的方法去加深理解。

我记得某个培训机构为了让孩子记住乘法分配律，用了个警察抓小偷的故事来辅助记忆。但如果用下面数形结合的方式来辅助理解乘法分配律，是不是想忘记都难？

 

现在很多机构都大力宣传各种速算技巧，这些其实完全没有必要刻意去学。每一种速算都有它的适用范围，一不小心就容易搞混、记错。数的位值表示、交换律、结合律、分配律、因数分解等，才是各类速算技巧背后的核心原理。

类似于“用1、2、3、4、5这五个数字组成一个三位数和一个两位数，使得两个数乘积最大”的问题，我更不会去记给自己的思想戴上枷锁的所谓“U型图解法”。

除了上面的简单例子，包括等差数列求和、等比数列求和、以及大部分三角公式，我也不会刻意去记公式，而是重视这些公式的推导过程。这样习得的知识，才能记得牢、用的活。

（3）有一股钻劲

这一点可能是不少孩子在学数学过程中所欠缺的。特别是现在很多培训讲究套路，而不重视探索的过程，最后纯粹变成了比谁见过的套路多。孩子一旦碰到没有见过的问题，就容易产生畏难情绪，容易放弃。

学好数学必须要有一股挑战难题的韧劲！如果不经常花一两个小时或更长的时间去“啃”一道难题、消化难题，那数学是很难学好的。即便一段时间考了高分，那也不值得沾沾自喜，因为这种高分往往是昙花一现，难以持久。

《原本》的作者欧几里得曾说过“几何无王者之道”。这一点我非常赞同。包括几何在内的所有数学学习都没有捷径可循。一切宣称可以快速提分的，往往都是饮鸩止渴。数学问题可以千变万化，只有修炼好内功，才能以不变应万变！

 

（4）形成了一套自己的解题模式

不少人追求刷题量，最后导致解数学问题纯粹变成了肌肉记忆和条件反射。我曾和一些孩子聊过，他们虽然可以条件反射式地快速给出一些问题的答案，但据我观察，不少时候他们并没有理解问题的本质。

我自己不推荐海量刷题，但这并不是说不做题。不解题肯定学不好数学，关键是解题的方法。怎么才能做到解一题当十题的效果？关于这一点，也可以参考我之前的文章《奥数冠军教你如何解题》。

经过这么多年的实践，我形成了一套自己的解题模式，自认为可以最大化解题的效果。具体地，可以将解题的整个过程分为应试和提升两个阶段。

 

 

应试阶段分为五步：

第一，仔细读题审题。

这一步很重要，千万不要图快，最好题目读上两遍，揣摩清楚出题人的意图。

第二，观察联想。

观察、识别问题的结构和模式，并与自己知识结构中的已知问题进行分析、对比。

第三，探索和求解。

在这个过程中，很多时候都是通过类比、归纳寻找解题的思路。在小学阶段，这个过程对于提升孩子的数学能力非常重要，类比和归纳是人类解决未知问题的法宝。当然，探索和求解的方法还有许多，我以后会慢慢写。

第四，永远不要忘了问“是否是唯一解？”。

这一步也很重要，非常考察思维的完备性。一道题10分，如果有2个答案，你只答了1个，那就只得5分。找出其它所有解，或者证明解就是唯一的，在数学上非常重要。

第五，学会验算。

验算并不是简单地将问题重新做一遍，而是一门学问。关于验算的内容，完全可以写上一整篇文章。我这里只讲几点：首先，验算方法千万条，读对题目第一条，确保没有读错题和会错意是最重要的；其次，要即时验算、步步为营；最后，验算方法多种多样，要选择最适合所给问题的方法，包括代入法、殊途同归法、特殊值法、实验验证法、估算法等。

 

如果是应试，那么，到这儿解题就结束了。但作为平时的练习，到这里还远远不够。后面的思考才是对提升数学解题能力作用最大的。就好比健身，当你开始出汗的时候，后面一段时间的坚持才是锻炼效果最好的。

那么还需要做什么呢？

 

第六，需要拷问自己：所采用的方法是否可以扩展？

比如当问题规模n=10的时候方法可以用，当问题规模n=1000的时候方法还能不能用？

 

第七，永远要问自己，是否有其它解决方法？

努力做到一题多解，并学会分析每种方法的好坏和适用条件。一般而言，效率和普适性往往是一对矛盾体。

 

第八，变换角色，把自己当成出题人。

想一想如果自己来出题，可以怎么改变出题条件，真正做到举一反三。

 

如果能够做到这些，那我相信数学解题能力想不提升都难。

学数学可以培养孩子的哪些能力和习惯？

虽说现在很多学科都可以培养孩子的思维能力，但无疑，数学依然是最好的思维体操。

通过数学学习，可以培养孩子的抽象能力、推理能力和解决问题的能力，并锻炼公理化系统方法。具体地，我觉得可以培养孩子的12大能力和6大优秀的品质（注：这些词有些是我自己总结和发明的，肯定有不周全的地方）。这些能力和品质，对孩子日后的工作和生活具有非常积极的意义。

 

 

 

基础教育阶段数学能力培养的重点是什么？

小学阶段，类比推理和归纳推理应该是重点培养的数学推理能力。等小学高年级和中学阶段，演绎推理将逐渐扮演更重要的角色。

• 类比推理
  

类比推理是根据两个（或两类）事物的某些属性相同或相似，推出它们另一属性也相同或相似的推理方法，是一种从特殊到特殊的推理方法。

听着很玄乎？其实说白了就是依葫芦画瓢。

比如，知道圆的定义是由所有到圆心的距离相等的点构成的集合，那么三维中球面的定义应该是由到球心的距离相等的点构成的曲面。

又如，我们知道在十进制中，被9整除的数的特征是各位数字之和能被9整除，这一结论可以基于数的位值表示推导得出，例如：

297=2×10²+9×10+7

=2×(99+1)+9×(9+1)+7

=2×99+9×9+2+9+7

因此，297能被9整除当且仅当其各位数字之和2+9+7能被9整除。

类似地，我们可以做这样的类比：7进制中，被6整除的数的特征是各位数字之和能被6整除。其结论也可以类比十进制的推理得出。

435₍₇₎=4×100₍₇₎+3×10₍₇₎+5

=4×(66₍₇₎+1)+3×(6₍₇₎+1)+5

=4×66₍₇₎+3×6₍₇₎+4+3+5

因此，435₍₇₎能被6整除等价于4+3+5能被6整除。

 

再看一个几何的例子：

下图的正方形边长为1，首先被分成四个相等的正方形，将左上角涂色，然后再将右下角正方形的一分为四，将左上角的涂色。如果我们一直持续这一过程，那么最后被涂色的部分占整个面积的多少？

这个问题最直接的做法是利用小学生无法理解的无穷级数求和。如果不用无穷级数求和，可以这么考虑：去掉右下角的1/4块后，剩下的这部分，涂色部分是剩下部分的1/3（如下图左）。

       

在剩下的1/4块里，我们再去掉这个1/4块的右下角，那么涂色部分依然占整个面积的1/3（如上图右）。依此类推，每次都抠掉右下角的一小块，涂色部分的面积在不同的尺度上都是整个面积的1/3，因此整体上涂色部分面积为整个正方形面积的1/3。

 

基于这个小学生能理解的思路，我们可以类似地解决下面这个问题：

在下面的黄色正三角形ABC中，分别取三边的中点D, E, F并分别连接，然后分别取DE, EF,DF三边的中点H, I, G，并将ΔDGH, ΔEHI, ΔGIF涂成蓝色。接着，对中间的小三角形GHI重复上述同样的操作。如果这一操作一直持续下去到永远，请问，图中涂成黄色部分的面积占整个正三角形面积的几分之几？

 

但是，由于类比推理的逻辑根据是不充分的，带有或然性，具有猜测性，不一定可靠，不能作为一种严格的数学方法，因此还须经过严格的逻辑论证，才能确认猜测结论的正确性。

比如，“这篇小说只有1000字,文字很流畅，这篇小说得奖了。你写的这篇小说也是1000字，文字也很流畅，因此也一定能得奖。” 这样的类比无疑会得出错误的结论。

人类一直希望能找到适合生命存在的外星系类地行星，这就是一种类比推理。根据行星的构造、温度、距离恒星的远近等方面具有与地球类似的特征，因此推断其可能也应该有生命存在。这样的推理结论，并不一定正确。

 

• 归纳推理

归纳推理则是由部分到整体，个别到一般的推理过程，是由一定程度的关于个别事物的观点过渡到范围较大的观点，由特殊具体的事例推导出一般原理、原则的方法。

听着高大上？其实就是找规律！

应该说，归纳推理能力的培养对于解决未知问题具有重要的作用，是小学阶段应该花力气重点培养的主要能力之一。

先看一个简单的问题：

2，5，8，11，…，这个数列的第100项是多少?

这个问题，显然需要在特殊的基础上进行归纳，从第二项起，每一个都是在前一个基础上加3，那么第100项应该是在第1项的基础上加99个3，即为2+99×3。更一般化地，第n项的通项公式应该是2+(n-1)×3。

 

再如，我们知道三角形、四边形、五边形的内角和分别为180°，360°，540°，据此，我们可以归纳出n边形的内角和应该是(n-2)×180°。

 

再看下面这个问题：

有100个边长为1的正三角形如下图所示排成一行，请问图形的周长是多少？

我们不妨从1个正三角形开始做初步的探索：

 

正三角形个数	周长
1	3
2	4
3	5
4	6

据此，我们可以归纳出n个正三角形按上面的方式排列的周长为n+2。

如果我们把正三角形换成正五边形，100个边长为1的正五边形如下图所示排在一起，周长为多少？

我们同样也可以从1个正五边形开始做如下的探索和归纳：

正五边形个数	周长
1	5
2	8
3	11
4	14

据此，可以归纳出n个正五边形按上述方式排列，周长为3n+2。

上面的结论，当然可以进行严格证明。从图中可以看到，除了头尾两个正五边形贡献了4条边，其余n-2个正五边形都贡献了3条边，因此周长为4×2+3×(n-2)=3n+2。

最后再来看一个稍微复杂一点的问题：

有1个水龙头，6个人各拿一只水桶到水龙头接水，水龙头注满6个人的水桶所需时间分别是5分钟、4分钟、3分钟、10分钟、7分钟、6分钟．怎么安排这6个人打水，才能使他们等候的总时间（包括自己的打水时间）最短，最短的时间是多少？

这个问题，也可以从归纳开始。

首先，假设只有2个人，所需注水时间分别为3分钟和4分钟，那么按照注水时间有3、4和4、3两种排列。显然，按照前一种排列方式打水，等候的总时间最短，为3+(3+4)=10分钟。

再假设有3个人，所需注水的时间分别为3分钟、4分钟、5分钟，那么有：

注水时间的排列顺序	等候的总时间
3、4、5	22
3、5、4	23
4、3、5	23
4、5、3	25
5、3、4	25
5、4、3	26

 

可以看到，按照3分钟、4分钟、5分钟的顺序打水，等候的总时间最短。

据此，可以大致归纳出下面的结论：为了让所有人等候的总时间最短，应该按照注水时间从小到大的顺序排队打水。

但这个归纳到底对不对，还需要严格的证明。

证明方法不止一种，这里只介绍一种基于整体思维和递归思维的方法。

假设6个人最后打水的先后顺序为：a, b, c, d, e,f, 各人需要的注水时间也用a, b, c, d, e, f表示，那么总的等候时间为：

a+(a+b)+(a+b+c)+(a+b+c+d)+(a+b+c+d+e)+(a+b+c+d+e+f)

=6a+5b+4c+3d+2e+f

=5a+4b+3c+2d+e+(a+b+c+d+e+f)

=5a+4b+3c+2d+e+35

要使得和最小，最后一个式子中消失的f应该是最大的，即10分钟，剩下的a, b, c, d, e为5,4,3,7,6的一个排列。

基于递归的思维，重复这一分析过程，可以得到e=7，d=6，c=5，b=4，a=3。

事实上，许多物理定律的发现，也都依赖于对大量数据的观测和归纳，比如开普勒发现的行星运动定律。从这个意义上讲，对数据的拟合就是一种归纳。

 

当然，上面所提到问题的归纳最后是可以进行严格证明的。但是，有些通过特殊归纳出的一般结论却并不一定正确，或者，很难被证明或证伪，从而变成了著名的数学猜想。

例如，大名鼎鼎的哥德巴赫猜想就属于这样的归纳结论。

哥德巴赫猜想：任何大于2的偶数都可以表示成两个质数之和。

比如4=2+2，6=3+3，8=3+5，10=5+5，这个结论对于特殊值都成立。但通过归纳得出的一般性结论，经历了这么多年都未能得到证明或证伪。

此外，规律不一定唯一，同样的观测值，可以得出不同的可解释的归纳结论。比如下面这个：

1，2，4，8，_____

按照大部分人的直觉，后面都会填16。

但是，填15也行。为什么？如果你去研究一下0刀、1刀、2刀、3刀、4刀分别最多能把西瓜切成多少块，就会发现是1，2，4，8，15这个序列。如果有疑问，可以看我的书《给孩子的数学思维课》。

填14也行。为什么？如果你去观察一下0个圆、1个圆、2个圆、3个圆、4个圆分别最多能把平面分成多少份，就会发现是1，2，4，8，14这个序列。

事实上，只要是有限个数，空格处填任何数都可以通过合适的多项式进行拟合。

 

• 演绎推理

 

而到了初中以后，演绎推理就显得更重要。

演绎推理是指从一般性的前提出发，通过推导即“演绎”，得出具体陈述或个别结论的过程。演绎推理是一种确定性推理，是前提与结论之间有必然性联系的推理。

最著名的演绎推理是下面的三段论：

所有的人都会死。

苏格拉底是人。

所以，苏格拉底会死。

在我们的数学课程中，演绎推理在平面几何中用的最多。这里举一个例子。

证明三角形的内角和是180°。

在小学的课本里，是通过类似于下面的实验方法，把三角形的三个角剪下来，拼在一起，发现正好是一个平角。

                 

 这种方法当然不能算是一种证明。严格的证明需要演绎推理。

首先，如下图所示，延长BC至CD。在ΔABC中，过C点做BA的平行线至CE。

由于BA//CE，

所以有：

∠DCE=∠B（同位角相等）

∠ECA=∠A（内错角相等）

因此：

∠A+∠B+∠C

=∠ECA+∠DCE+∠ACB

=180°

如果要进一步深究一下，为什么同位角和内错角相等？那我们还要搬出欧几里得平面几何五大公设中的第五条，它是这么说的：

同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角和小于二直角的和，则这二直线经无限延长后在这一侧相交。

这句话的逆否命题是：同平面内一条直线和另外两条直线相交，如果后面两条直线无限延长后在某一侧不相交，那么这一侧的两个内角和不小于两个直角的和（即180°）。

由于两条直线平行，所以这两条直线在任何一侧都不相交（注：这一结论只限欧氏几何范畴）。那么两侧的两个内角和都不小于180°。而四个内角加起来是360°，只能是每一侧的两个内角和均为180°。再根据平角是180°，可以进一步推出同位角和内错角相等。

只有掌握了演绎推理，才算是真正步入了数学的大门。

所以，什么才是我们最应该学的？

不是那些让人眼花缭乱的各种技巧，而是基本概念、基本关系、基本规则、基本原理和基本推理方法，以及不畏艰难和追求卓越的品质！