二次函数与一元二次方程、不等式

【夯实基础】

一、单选题

1．（·浙江·高一单元测试）商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售．每天可销售100件，现准备采用提高售价来添加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件可定为（ ）

A．11元 B．16元

C．12元到16元之间 D．13元到15元之间

【答案】C

【解析】设销售价定为每件元，利润为元，根据题意可得利润的函数解析式.由题意可得关于的一元二次不等式，解不等式即可求得每件销售价的范围.

【详解】设销售价定为每件元,利润为元，

则，

由题意可得：，

即， 所以，

解得：，

所以每件销售价应定为12元到16元之间，

故选：C

2．（·全国·高一课时练习）某文具店购进一批新型台灯，每盏的最低售价为15元，若每盏按最低售价销售，每天能卖出45盏，每盏售价每提高1元，日销售量将减少3盏，为了使这批台灯每天获得600元以上的销售收入，则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题意为了使这批台灯每天获得600元以上的销售收入，

可列不等式 同时需要注意最低售价为15元，即.同时满足上述条件，可解得范围得到答案

【详解】由题意，得，即，∴，解得．又每盏的最低售价为15元，∴．

故选：B．

3．（·江苏省黄埭中学高一阶段练习）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m²的内接矩形花园（阴影部分），则其边长（单位：m）的取值范围是（       ）

 

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据三角形相似列出方程，将矩形的另一边用表示，再根据矩形的面积不小于300m²列出不等式，即可求出结果.

【详解】设矩形的另一边长为m，则由三角形相似知，，

所以，因为，所以，

即，解得.

故选:C

【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的应用，关键是建立数学模型，解一元二次不等式，属于基础题.

二、多选题

4．（·全国·高一课时练习）在一个限速40的弯道上，甲，乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了.事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12，乙车的刹车距离略超过10.又知甲､乙两种车型的刹车距离S与车速x之间分别有如下关系：S_甲=0.1x+0.01x²，S_乙=0.05x+0.005x².则下列判断错误的是（       ）

A．甲车超速 B．乙车超速

C．两车均不超速 D．两车均超速

【答案】ACD

【分析】设甲的速度为,解不等式0.1x₁+0.01>12得到甲的速度范围；设乙的速度为，解不等式0.05x₂+0.005>10得到乙的速度范围，即得解.

【详解】设甲的速度为

由题得0.1x₁+0.01>12，

解之得或；

设乙的速度为，

由题得0.05x₂+0.005>10.

解之得x₂<-50或x₂>40.

由于x>0，从而得x₁>30km/h，x₂>40km/h.

经比较知乙车超过限速.

故选：ACD

5．（·浙江杭州·高一期末）某城市对一种每件售价为160元的商品征收附加税，税率为（即每销售100元征税元），若年销售量为万件，要使附加税不少于128万元，则的值可以是（       ）

A．3 B．4 C．7 D．8

【答案】BCD

【解析】根据题意直接列出不等式，求解的取值范围，进而得答案.

【详解】解：根据题意，要使附加税不少于128万元，需

整理得，解得 ，即.

所以的值可以是.

故选：BCD

三、填空题

6．（·全国·高一课时练习）某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x件与售价P元/件之间的关系为P＝150－2x，生产x件所需成本为C＝50＋30x元，要使日获利不少于1300元，则该厂日产量应在_________范围之内(件).

【答案】15 ≤ x ≤ 45，且x为自然数

【分析】根据题干信息，可知存在不等关系，列不等式求解即可

【详解】由题意得：(150－2x)x－(50＋30x) ≥ 1300

化简得：x²－60x＋675 ≤ 0

解得：15 ≤ x ≤ 45，且x为自然数

故答案为：15 ≤ x ≤ 45，且x为自然数

【点睛】本题考查了一元二次不等式，根据题意列不等式，并利用一元二次不等式的解法求解

7．（·新疆·和硕县高级中学高一阶段练习）用一段长为30的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18，要求菜园的面积不小于216，靠墙的一边长为，其中的不等关系可用不等式(组)表示为________.

【答案】

【分析】先求得矩形的边长，结合题意列出不等关系.

【详解】矩形菜园靠墙的一边长为，则另一边长为，

即，根据已知得.

故答案为：

8．（·全国·高一课时练习）甲厂以x千克/时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得利润元．要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，则x的最小值是______．

【答案】3

【分析】根据题意，由求解.

【详解】要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，则，

整理得，又，

所以，

解得．

故x的最小值是3．

故答案为：3

四、解答题

9．（·江苏·高一课时练习）某小型服装厂生产一种风衣，日销货量x件（）与货价p元/件之间的关系为，生产x件所需成本为元.问：该厂日产量多大时，日获利不少于1300元？

【答案】20件至45件

【分析】由题设可列不等式并整理，应用一元二次不等式的解法求解集即可.

【详解】由题意，得，化简得，解得.

∴该厂日产量在20件至45件时，日获利不少于1300元.

10．（·湖南·高一课时练习）一家汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量（辆）与创收价值（元）之间有如下关系式：．若这家制造厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，那么它在一个星期内生产的摩托车数量应满足什么条件？

【答案】.

【分析】根据已知列出一元二次不等式，结合解一元二次不等式的方法进行求解即可.

【详解】由题意可得：，

解得：.

11．（·江苏·高一课时练习）如果某厂扩建后计划后年的产量不低于今年的2倍，那么明、后两年每年的平均增长率至少是多少？

【答案】

【分析】根据题中不等关系列出关于平均增长率的不等式，解不等式，即可得到增长率的范围.

【详解】设该厂今年的产量为 ，明、后两年每年的平均增长率至少是 ，

则 ，即，

 ，

所以明、后两年每年的平均增长率至少是 .

12．（·江苏·高一课时练习）把一块长为80mm、宽为60mm的长方形铁皮的四个角各剪去一个边长相等的小正方形，做成一个无盖铁盒．求当底面积不小于1500mm²时，小正方形的边长的取值范围．

【答案】小正方形的边长不超过15mm.

【分析】设出小正方形的边长，进而根据题意建立不等式，然后解出答案.

【详解】设小正方形的边长为xmm，则(80－2x)(60－2x)≥1500，即x²－70x＋15×55≥0，解得x≥55或x≤15.

因为60－2x>0, 80－2x>0, x>0，解得0<x<30，所以0<x≤15.

答：当底面积不小于1500mm²时，小正方形的边长不超过15mm.

13．（·河南·范县第一中学高一阶段练习）国家原计划以元/吨的价格收购某种农产品吨.按规定，农户向国家纳税：每收入100元纳税8元（称作税率为8个百分点，即8%）.为了减轻农民负担，制定积极的收购政策.根据市场规律，税率降低个百分点，收购量能增加个百分点.试确定的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的54%.

【答案】

【分析】根据题意列出不等式，进而解出不等式即可.

【详解】设税率调低后“税收总收入”为y元.

y=m(1+2x%)·(8-x)%(0<x≤8).

依题意，得y≥m×8%×54%，

即2000m(1+2x%)·(8-x)%≥m×8%×54%，

整理得x²+42x-184≤0，解得-46≤x≤4.

根据x的实际意义，知0<x≤8，所以x的范围为0<x≤4.

14．（·云南·玉溪市江川区第二中学高一期中）北京、张家港年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为元，年销售万件．据市场调查，若价格每提高元，销售量将相应减少件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？

【答案】每件定价最多为元．

【分析】设每件定价为元，依题可知原收入为万元，现收入为万元，即可列出不等式解出．

【详解】设每件定价为元，依题意得，整理得

，解得：．

所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为元．

15．（·全国·高一单元测试）1.通过技术创新，某公司的汽车特种玻璃已进入欧洲市场. 年，该种玻璃售价为25欧元/平方米，销售量为80万平方米，销售收入为万欧元.

(1)据市场调查，若售价每提高1欧元/平方米，则销售量将减少2万平方米；要使销售收入不低于万欧元，试问：该种玻璃的售价最多提高到多少欧元/平方米？

(2)为提高年销售量，增加市场份额，公司将在年对该种玻璃实施二次技术创新和营销策略改革：提高价格到欧元/平方米（其中），其中投入万欧元作为技术创新费用，投入500万欧元作为固定宣传费用，投入万欧元作为浮动宣传费用，试问：该种玻璃的销售量（单位/万平方米）至少达到多少时，才可能使年的销售收入不低于年销售收入与年投入之和？并求出此时的售价.

【答案】(1)40

(2)该种玻璃的销售量至少达到102万平方米时，才可能使年的销售收入不低于年销售收入与年投入之和，此时求出此时的售价为30欧元.

【分析】（1）设出未知数，列不等式进行求解；（2）根据题意，得到关于的关系式，，利用基本不等式进行求解

（1）设该种玻璃的售价提高到x欧元/平方米

 

解得： 

所以该种玻璃的售价最多提高到40欧元/平方米

（2）

整理得：

除以得：

由基本不等式得：，当且仅当，即时，等号成立，所以该种玻璃的销售量至少达到102万平方米时，才可能使年的销售收入不低于年销售收入与年投入之和，此时求出此时的售价为30欧元/平方米.

16．（·新疆·乌苏市第一中学高一开学考试）为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化．如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（阴影部分）均种植宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为300平方米．

 

(1)若矩形草坪的长比宽至少多5米，求草坪宽的最大值；

(2)若草坪四周的花坛宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值．

【答案】(1)15米

(2)864平方米

【分析】（1）根据“矩形草坪的长比宽至少多5米”列不等式，解不等式来求得草坪宽的最大值.

（2）求得绿化面积的表达式，利用基本不等式求得最小值.

(1)设草坪的宽为x米，长为y米，由面积为300平方米，得，

∵矩形草坪的长比宽至少多5米，∴，

∴，解得，

又，∴，

草坪宽的最大值为15米．

(2)记整个绿化面积为S平方米，由题意可得

，

当且仅当时，等号成立，

∴整个绿化面积的最小值为864平方米．

17．（·湖南·高一课时练习）汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，这段距离称为“刹车距离”．刹车距离是分析交通事故的一个重要指标．在一个限速为40km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12m，乙车的刹车距离略超过10m，又知甲、乙两种车型的刹车距离与车速分别有如下关系式：，．问：甲、乙两辆汽车是否有超速现象？

【答案】甲种车型没有超速现象, 乙种车型有超速现象.

【分析】根据题意，得到一元二次不等式，结合解一元二次方程的方法进行求解即可.

【详解】因为甲种车型的刹车距离与车速的关系式：，

所以由题意可得：，或舍去，即，当时，，

显然甲种车型没有超速现象；

因为乙种车型的刹车距离与车速的关系式：，

所以由题意可得：，或舍去，即，因此乙种车型有超速现象.

18．（·贵州黔东南·高一期末）黔东南某地有一座水库，设计最大容量为128000m³．根据预测，汛期时水库的进水量（单位：m³）与天数的关系是，水库原有水量为80000m³，若水闸开闸泄水，则每天可泄水4000m³；水库水量差最大容量23000m³时系统就会自动报警提醒，水库水量超过最大容量时，堤坝就会发生危险；如果汛期来临水库不泄洪，1天后就会出现系统自动报警．

(1)求的值；

(2)当汛期来临第一天，水库就开始泄洪，估计汛期将持续10天，问：此期间堤坝会发生危险吗？请说明理由．

【答案】(1)

(2)汛期的第9天会有危险，理由见解析

【分析】（1）根据条件可建立方程，解出即可；

（2）设第天发生危险，由题意得 ，解出此不等式，然后可得答案.

(1)由题意得： ，

即

(2)由（1）得

设第天发生危险，由题意得 ，即，得．

所以汛期的第9天会有危险

【能力提升】

一、多选题

1．（·全国·高一课时练习）某辆汽车以的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全，要求）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为，其中为常数．若汽车以120km/h的速度行驶时，每小时的油耗为，欲使每小时的油耗不超过，则速度x的值可为（       ）

A．60 B．80 C．100 D．120

【答案】ABC

【解析】先利用120km/h时的油耗，计算出的值，然后根据题意“油耗不超过”列不等式，解不等式求得的取值范围.

【详解】由汽车以120km/h的速度行驶时，每小时的油耗为，

，解得：，故每小时油耗为，

由题意得，解得：，

又，故，所以速度的取值范围为.

故选：ABC

【点睛】关键点点睛：本题考查利用待定系数法求解析式，考查一元二次不等式的解法，解题的关键是先利用120km/h时的油耗，计算出的值，然后代入根据题意解不等式，考查实际应用问题，属于中档题.

二、填空题

2．（·上海虹口·高一期末）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300的内接矩形花园（阴影部分），则其一边长x（单位m）的取值范围是___________.

 

【答案】[10，30]

【分析】设矩形的另一边长为，由三角形相似得出x，y的关系，再根据矩形的面积公式建立不等式，解之可求得答案.

【详解】解：设矩形的另一边长为，由三角形相似得且，

所以，又矩形的面积，所以，解得，

所以其一边长x（单位m）的取值范围是[10，30].

故答案为：[10，30].

3．（·全国·高一课时练习）某青年旅社有200张床位，若每床每晚的租金为50元，则可全部出租；若将出租费标准每晚提高10的整数倍，则出租的床位会减少10的相应倍数张.若要使该旅社每晚的收入超过1.2万元，则每个床位的定价的取值范围是___________;

【答案】

【分析】设每床每晚的租金提高10的倍，由题意可得，解不等式可得的范围，再计算每个床位的定价的取值范围即可求解.

【详解】设每床每晚的租金提高10的倍，即为元，

出租的床位会减少10的倍张，即为张，

由题意可得该旅社每晚的收入为，

整理可得：

解得：，

因为，所以，

此时每个床位的定价，

所以每个床位的定价的取值范围是，

故答案为：.

4．（·全国·高一专题练习）在一个限速40km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12m，乙车的刹车距离略超过10m．又知甲、乙两种车型的刹车距离sm与车速xkm/h之间分别有如下关系：s_甲＝0.1x＋0.01x²，s_乙＝0.05x＋0.005x²．这次事故的主要责任方为________．

【答案】乙车

【分析】依题意,分别列出一元二次不等式,求出各车的最低速度,即可求解.

【详解】解:由题意列出不等式s_甲＝0.1x＋0.01x²>12，

s_乙＝0.05x＋0.005x²>10．

分别求解，得

x_甲<－40或x_甲>30．

x_乙<－50或x_乙>40．

由于x>0，从而得x_甲>30km/h，x_乙>40km/h．

经比较知乙车超过限速，应负主要责任．

故答案为:乙车.

三、解答题

5．（·湖南·高一课时练习）某旅店有200张床位．若每张床位一晚上的租金为50元，则可全部租出；若将出租收费标准每晚提高元（为正整数），则租出的床位会相应减少张．若要使该旅店某晚的收入超过12600元，则每张床位的出租价格可定在什么范围内？

【答案】每个床位的出租价格应定在70元到180元之间（不包括70元，180元）

【分析】由题意可知该旅店某晚的收入为y元，可知，解不等式可求解.

【详解】设该旅店某晚的收入为y元，则

由题意，则

即，即，

解得：，且

所以每个床位的出租价格应定在70元到180元之间（不包括70元，180元）

6．（·湖北十堰·高一期中）某学校欲在广场旁的一块矩形空地上进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均种满宽度相同的鲜花.已知两块绿草坪的面积均为200平方米.

 

(1)若矩形草坪的长比宽至少多10米，求草坪宽的最大值；

(2)若草坪四周及中间的宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值.

【答案】(1)10米

(2)平方米

【分析】（1）设草坪的宽为米，长为米，则由题意，列出关于的不等式，求解即可；（2）求出整个绿化面的长为米，宽为米，然后由面积公式以及基本不等式求解最值即可．

(1)设草坪的宽为x米，长为y米，由面积均为200平方米，得，

因为矩形草坪的长比宽至少多10米，

所以，又，

所以，解得，

所以宽的最大值为10米；

(2)记整个绿化面积为S平方米，由题意得，

，当且仅当米时，等号成立，所以整个绿化面积的最小值为平方米

7．（·全国·高一课时练习）为发展空间互联网，抢占6G技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入.据了解，该企业研发部原有100人，年人均投入a（）万元，现把研发部人员分成两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有x名（且），调整后研发人员的年人均投入增加4x%，技术人员的年人均投入为万元.

(1)要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的100人的年总投入，则调整后的技术人员最多有多少人？

(2)是否存在实数m，同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.

【答案】(1)75人

(2)存在，7

【分析】（1）根据题意直接列出不等式可求解；

（2）由条件可得，，分别利用函数单调性和基本不等式即可求解.

(1)依题意可得调整后研发人员人数为，年人均投入为万元，

则，()

解得，

又，，所以调整后的技术人员的人数最多75人；

(2)假设存在实数m满足条件.

由技术人员年人均投入不减少有，解得.

由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入有

，

两边同除以得，

整理得，

故有，

因为，当且仅当时等号成立，所以，

又因为，，所以当时，取得最大值7，所以，

，即存在这样的m满足条件，其范围为.

8．（·吉林·长春市实验中学高一阶段练习）某企业研发的一条生产线生产某种产品，据测算，其生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的关系式为，已知此生产线年产量最大为220吨．

（1）求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求出这个最低成本；

（2）经过评估，企业定价每吨产品的出厂价为40万元，且最大利润不超过1660万元，由该生产线年产量的最大值应为多少？

【答案】（1）年产量为200（吨）时每吨平均成本最低，最低成本为32万元；（2）210吨．

【分析】（1）平均成本等于总成本除以年产量，得到的式子符合乘积为定值，利用基本不等式求出最小值；

（2）表示出利润得到关于x的二次不等式，求出范围即可.注意实际问题下取值范围的限制.

【详解】解∶（1）设每吨的平均成本为W，

则W=

当且仅当，即x=200（吨）时每吨平均成本最低，且最低成本为32万元．

（2）由题意得，

，

解得，x≥230或x≤210

∵0<x≤220

∴0<x≤210

当最大利润不超过1660万元时，年产量的最大值应为210吨．

9．（·黑龙江·双鸭山一中高一阶段练习）某单位在对一个长800 m、宽600 m的草坪进行绿化时，是这样想的:中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示，若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，则花坛宽度的取值范围是多少?当花坛宽度为多少时，绿草坪面积最小?

 

【答案】当花坛的宽度在之间取值时，绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，花坛宽度为时，绿草坪面积最小.

【分析】设花坛宽度为，则草坪的长为，宽为，由题列不等式，解不等式可得的范围，再由二次函数的性质求最值即可.

【详解】设花坛宽度为，则草坪的长为，宽为.

根据题意得，

整理得，

解不等式得(舍去)或，

因此.

故当花坛的宽度在之间取值时，绿草坪的面积不小于总面积的二分之一.

绿草坪的面积，

对称轴为，开口向上的抛物线，所以在上单调递减，

所以当时，，

所以当花坛宽度为时，绿草坪面积最小.

10．（·江苏·徐州市第七中学高一期中）年11月23日，贵州宣布最后9个深度贫困县退出贫困县序列，这不仅标志着贵州省66个贫困县实现整体脱贫，这也标志着国务院扶贫办确定的全国832个贫困县全部脱贫摘帽，全国脱贫攻坚目标任务已经完成.在脱贫攻坚过程中，某地县乡村三级干部在帮扶走访中得知某贫困户的实际情况后，为他家量身定制了脱贫计划，政府无息贷款10万元给该农户种养羊，每万元可创造利润0.15万元.若进行技术指导，养羊的投资减少了万元，且每万元创造的利润变为原来的倍.现将养羊少投资的万元全部投资网店，进行农产品销售，则每万元创造的利润为万元，其中.

（1）若进行技术指导后养羊的利润不低于原来养羊的利润，求的取值范围；

（2）若网店销售的利润始终不高于技术指导后养羊的利润，求的最大值.

【答案】（1）的取值范围为；（2）的最大值为．

【解析】（1）由题意得，解不等式可得结果；

（2）由题意得恒成立，分离出参数得恒成立，只要利用基本不等式求出的最小值即可

【详解】解：（1）由题意，得，

整理得，解得，又，故．

（2）由题意知网店销售的利润为万元，

技术指导后，养羊的利润为万元，

则恒成立，

又，∴恒成立，

又，当且仅当时等号成立，

∴，即的最大值为．

答：（1）的取值范围为；（2）的最大值为．

【点睛】关键点点睛：此题考查利用数学知识解决实际问题，考查不等式的解法，第2问解题的关键是由恒成立，转化为恒成立，然后利用基本不等式求的最小值即可，属于中档题

11．（·江苏·高一）科技创新是企业发展的源动力，是一个企业能够实现健康持续发展的重要基础．某科技企业最新研发了一款大型电子设备，并投入生产应用．经调研，该企业生产此设备获得的月利润（单位：万元）与投入的月研发经费（，单位：万元）有关：当投入的月研发经费不高于36万元时，；当投入月研发经费高于36万元时，．对于企业而言，研发利润率，是优化企业管理的重要依据之一，越大，研发利润率越高，反之越小．

（1）求该企业生产此设备的研发利润率的最大值以及相应月研发经费的值；

（2）若该企业生产此设备的研发利润率不低于190%，求月研发经费的取值范围．

【答案】（1）30万元，最大值200%；（2）.

【解析】（1）分别写出与时研发利润率关于月研发经费的函数，再由基本不等式及函数的单调性求最值，取最大值中的最大者得结论；

（2）由（1）可得应付利润率关于研发经费的解析式，列不等式求解的范围即可

【详解】（1）由已知，当时，

．

当且仅当，即时，取等号；

当时，．

因为在上单调递减，所以．

因为，所以当月研发经费为30万元时，研发利润率取得最大值200%．

（2）若该企业生产此设备的研发利润率不低于190%，

由（1）可知，此时月研发经费．

于是，令，

整理得，解得．

因此，当研发利润率不小于190%时，月研发经费的取值范围是．

【点睛】思路点睛：与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.

12．（·湖北·高一期中）经观测，某公路段在某时段内的车流量(千辆/小时)与汽车的平均速度(千米/小时)之间有函数关系：．

（1）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时车流量最大？

（2）为保证在该时段内车流量至少为12千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？

【答案】（1）千米/小时；（2）应控制在20千米/小时到50千米/小时范围内．

【分析】（1）利用基本不等式等号成立的条件求得取得最大值时对应的的值.

（2）解一元二次不等式求得汽车的平均速度的控制范围.

【详解】（1），

，

，

当且仅当，即时等号成立.

当汽车的平均速度千米/小时时车流量最大．

（2）令，则可化为，

即，解得.

汽车的平均速度应控制在20千米/小时到50千米/小时范围内．

【点睛】本小题主要考查基本不等式、一元二次不等式.

13．（·江苏·高一课时练习）国家为了加强对烟酒生产的管理，实行征收附加税政策．现在某种酒每瓶70元，不征收附加税时，每年大约产销100万瓶；若政府征收附加税，每销售100元征收R元(叫做税率为R%)，则每年产销量将减少10R万瓶．要使每年在此项经营中所收附加税不少于112万元，R应怎样确定？

【答案】.

【分析】设产销量为每年x万瓶，则销售收入为每年70x万元，从中征收附加税为70x·R%万元，并且x＝100－10R，由题意得70(100－10R)·R%≥112，解不等式即得解.

【详解】设产销量为每年x万瓶，则销售收入为每年70x万元，从中征收附加税为70x·R%万元，并且x＝100－10R，由题意，得70(100－10R)·R%≥112，

即R²－10R＋16≤0，

解得2≤R≤8，

∴税率定在2%～8%(包括2%和8%)时，可使每年在此项经营中所收附加税不少于112万元．

【点睛】本题主要考查函数的应用和不等式的应用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.

14．（·全国·高一课时练习）经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度v（千米/小时）之间的函数关系为：（）.

（1）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（保留分数形式）

（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范用内？

【答案】（1）当时，车流量最大，最大车流量约为千辆/时；（2）汽车的平均速度应大于且小于.

【分析】（1）化简得，再利用基本不等式求解；

（2）解不等式即得解.

【详解】（1）依题得.

当且仅当，即时，上时等号成立，

（千辆/时）.

当时，车流量最大，最大车流量约为千辆/时；

（2）由条件得，因为，

所以整理得，即，解得.

如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于且小于.

【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，考查不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和解决实际问题的能力.

15．（·重庆南开中学高一阶段练习）十九大以来，国家深入推进精准脱贫，加大资金投入，强化社会帮扶，为了更好的服务于人民，派调查组到某农村去考察和指导工作.该地区有200户农民，且都从事水果种植，据了解，平均每户的年收入为3万元.为了调整产业结构，调查组和当地政府决定动员部分农民从事水果加工，据估计，若能动员户农民从事水果加工，则剩下的继续从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高，而从事水果加工的农民平均每户收入将为万元.

（1）若动员户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，求的取值范围；

（2）在（1）的条件下，要使这200户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，求的最大值.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）求得从事水果种植的农民的总年收入，由此列不等式，解不等式求得的取值范围.

（2）从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入列不等式，根据分离常数法求得的取值范围，由此求得的最大值.

【详解】（1）动员户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，则，解得.

（2）由于从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，则，（），

化简得，（）.

由于，当且仅当时等号成立，所以，所以的最大值为.

【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查基本不等式，考查数学在实际生活中的应用，属于中档题