模型讲解

一、光滑水平面上的碰撞问题

例1.在光滑水平地面上有两个相同的弹性小球A、B，质量都为m，现B球静止，A球向B球运动，发生正碰。已知碰撞过程中总机械能守恒，两球压缩最紧时的弹性势能为EP，则碰前A球的速度等于（  ）

A. 

B.

C. 

D.

解析：设碰前A球的速度为v0，两球压缩最紧时的速度为v，根据动量守恒定律得出，由能量守恒定律得，联立解得，所以正确选项为C。

二、光滑水平面上有阻挡板参与的碰撞问题

例2.在原子核物理中，研究核子与核子关联的最有效途径是“双电荷交换反应”。这类反应的前半部分过程和下述力学模型类似，两个小球A和B用轻质弹簧相连，在光滑的水平直轨道上处于静止状态，在它们左边有一垂直于轨道的固定挡板P，右边有一小球C沿轨道以速度v0射向B球，如图1所示，C与B发生碰撞并立即结成一个整体D，在它们继续向左运动的过程中，当弹簧长度变到最短时，长度突然被锁定，不再改变，然后，A球与挡板P发生碰撞，碰后A、D都静止不动，A与P接触而不粘连，过一段时间，突然解除锁定（锁定及解除锁定均无机械能损失），已知A、B、C三球的质量均为m。

图1

（1）求弹簧长度刚被锁定后A球的速度。

（2）求在A球离开挡板P之后的运动过程中，弹簧的最大弹性势能。

解析：（1）设C球与B球粘结成D时，D的速度为v1，由动量守恒得当弹簧压至最短时，D与A的速度相等，设此速度为v2，由动量守恒得，由以上两式求得A的速度。

（2）设弹簧长度被锁定后，贮存在弹簧中的势能为EP，由能量守恒，有撞击P后，A与D的动能都为零，解除锁定后，当弹簧刚恢复到自然长度时，势能全部转弯成D的动能，设D的速度为v3，则有

以后弹簧伸长，a球离开挡板p，并获得速度，当a、d的速度相当时，弹簧伸至最长，设此时的速度为v4，由动量守恒得

当弹簧伸到最长时，其势能最大，设此势能为EP’，由能量守恒，有解以上各式得。

说明：对弹簧模型来说“系统具有共同速度之时，恰为系统弹性势能最多”。

三、粗糙水平面上有阻挡板参与的碰撞问题

例3.图2中，轻弹簧的一端固定，另一端与滑块B相连，B静止在水平直导轨上，弹簧处在原长状态。另一质量与B相同滑块A，从导轨上的P点以某一初速度向B滑行，当A滑过距离l1时，与B相碰，碰撞时间极短，碰后A、B紧贴在一起运动，但互不粘连。已知最后A恰好返回出发点P并停止，滑块A和B与导轨的滑动摩擦因数都为，运动过程中弹簧最大形变量为l2，重力加速度为g，求A从P出发时的初速度v0。

图2

解析：令A、B质量皆为m，A刚接触B时速度为v1（碰前）

由功能关系，有

a、b碰撞过程中动量守恒，令碰后a、b独特运动的速度为v2

有

碰后A、B先一起向左运动，接着A、B一起被弹回，在弹簧恢复到原长时，设A、B的共同速度为v3，在这一过程中，弹簧势能始末状态都为零，利用功能关系，有

此后A、B开始分离，A单独向右滑到P点停下，由功能关系有

由以上各式，解得

四、结论开放性问题

例4.用轻弹簧相连的质量均为2kg的a、b两物块都以的速度在光滑的水平地面上运动，弹簧处于原长，品质为4kg的物体c静止在前方，如图3所示，b与c碰撞后二者粘在一起运动。求：在以后的运动中，

图3

（1）当弹簧的弹性势能最大时物体a的速率多大？

（2）弹性势能的最大值是多大？

（3）a的速度有大概向左吗？为什么？

解析：（1）当a、b、c三者的速度相等时弹簧的弹性势能最大，因为a、b、c三者组成的系统动量守恒，有

解得：

（2）B、C碰撞时B、C组成的系统动量守恒，设碰后瞬间B、C两者速度为，则

设物块a速度为va时弹簧的弹性势能最大为ep，依据能量守恒

（3）由体系动量守恒得

设a的速度方向向左，，则

根据能量守恒定律，是不可能的。故A不可能向左运动。

模型要点

系统动量守恒，如果弹簧被作为系统内的一个物体时，弹簧的弹力对系统内物体做不做功都不作用系统的机械能。能量守恒，动能与势能相互转化。

弹簧两端均有物体：弹簧伸长到最长或压缩到最短时，相关联物体的速度一定相等，弹簧具有最大的弹性势能。

当弹簧恢复原长时，相互关联物体的速度相差最大，弹簧对关联物体的作用力为零。若物体再受阻力时，弹力与阻力相等时，物体速度最大。

应用举例

如图4所示，在光滑水平长直轨道上，a、b两小球之间有一处于原长的轻质弹簧，弹簧右端与b球连接，左端与a球接触但不粘连，已知，开始时a、b均静止。在a球的左边有一品质为的小球c以初速度向右运动，与a球碰撞后粘连在一起，成为一个复合球d，碰撞时间极短，接着逐渐压缩弹簧并使b球运动，经过一段时间后，d球与弹簧分离（弹簧始终处于弹性限度内）。

图4

（1）上述过程中，弹簧的最大弹性势能是多少？

（2）当弹簧恢复原长时B球速度是多大？

（3）若开始时在B球右侧某位置固定一块挡板（图中未画出），在D球与弹簧分离前使B球与挡板发生碰撞，并在碰后立即将挡板撤走，设B球与挡板碰撞时间极短，碰后B球速度大小不变，但方向相反，试求出此后弹簧的弹性势能最大值的范围。

答案：（1）设C与A相碰后速度为v1，三个球共同速度为v2时，弹簧的弹性势能最大，由动量守恒，能量守恒有：

（2）设弹簧恢复原长时，D球速度为，B球速度为

则有

（3）设B球与挡板相碰前瞬间D、B两球速度

与挡板碰后弹性势能最大，D、B两球速度相等，设为