分类讨论，

就是当题目所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准进行分类，然后对每个类别级别进行研究，得出每一类的结论，最后将各类结果进行综合，得到整个问题的解答。

分类讨论思想是一种重要的数学思想方法，其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或肢解)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略。

分类讨论，是重要的数学思想，也是逻辑方法，同时又是重要的解题策略。

在高中数学中，分类讨论时很是重要的解题思路，

每次高考的数学试卷中，必然会有需要用到这种思想方法的题目。

一、分类讨论的要求及其意义

1、分类讨论的要求：

首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不重不漏、分类互斥(没有重复)；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。

2、分类讨论的因素：

(1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等。

(2)由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的请求，指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，等比数列{an}的前n项和公式等。

(3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性、基本不等式等。

(4)由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图象、指数函数图象、对数函数图象等。

(5)由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等。

二、分类讨论思想的原则

为了分类的正确性，分类讨论必需遵循一定的原则进行，在中学阶段，咱们经常用到的有以下四大原则：

(1) 同一性原则：分类应按照同一标准进行，即每次分类不能同时使用几个不同的分类根据。

(2) 互斥性原则：分类后的每个子项应当互不相容，即做到各个子项互相排斥，分类后不能有些元素既属于这个子项，又属于另一个子项。

(3) 相称性原则：分类应当相称，即划分后子项外延的总和（并集），应当与母项的外延相等。

(4) 层次性原则：分类有一次分类和多次分类之分，一次分类是对被讨论对象只分类一次；屡次分类是把分类后的所有的子项作为母项，再次进行分类，直到满足需要为止。

三、分类讨论思想的应用与例题详解

（一）分类讨论思想在集合中的应用

在集合运算中常常需要结合元素与集合，集合与集合之间的关系分类会商，尤其是对一些含参数的集合问题，常需要进行分类讨论求解。

（二）分类讨论头脑在函数中的应用

1. 用分段函数来分类讨论

2．函数中含参数的分类讨论

（三）分类讨论思想在不等式中的应用

1．涉及运算请求的分类讨论

我们在解题过程中，往往将式子变形或转化为另外一个式子来进行解题和运算，很多变形和运算是受条件限制的，如解不等式当两边同时乘（除）以一个代数式时，要考虑代数式的值是否为负；解无理不等式时，去掉根号要考虑两边是否都大于0等等。

2．含参数不等式的分类讨论

（四）分类讨论思想在排列组合中的应用

分类讨论思想在排列组合中也常见，尤其是解含有约束条件的排列拉拢问题时，运用分类讨论的方法可以把复杂的问题化为简单的问题。

（五） 分类讨论头脑在数列中的应用

在有些数列问题中存在不确定的因素，如等比数列的公比q 是否为1；数列的项的个数为偶数还是奇数等等，就那样的数列问题，我们要进行分类讨论。

（六） 分类讨论思想在圆锥曲线中的应用

（七）分类讨论头脑在立体几何中的应用

点，线，面是组成几何图形的三个要素，有些立体几何题中，这三者的位置关系是不确定的，因此要对每种情况进行分类讨论求解，这样防止漏解。下面一题是涉及点与线的位置关系不确定的分类讨论。

四、避免和简化分类讨论

分类讨论时一种重要的解题策略，但它不是万能的。对于分类讨论的问题，在熟悉和掌握分类讨论的同时，要注意克服盲目讨论的思维定势，要认真审查题目的特点，充分挖掘题中潜在的特殊性和简单性，尽可能避免分类讨论，简化分类讨论过程，从而提高分类讨论的效果。

(1) 通过逆向思惟避免分类讨论

当问题不易直接求解时，可考虑它的反面，通过对其反面情况的分析研究，使问题得到解决。

(2) 有的讨论题，若用化参数为函数的方法求解，则可简化讨论。